Neue Tlieorie der idtraeUiptischcn Fioicfionc)/. 93 



wird, verschieden naeli den verschiedenen möglichen Charakteristiken, in jedem Falle voll- 

 kommen bestimmt sind, sobald eine bestimmte Charakteristik statt der symbolischen f^i^"] 

 gewählt ist, so werden entsprechend diese Grössen auch mit der jedesmaligen Function /(.r) 

 in nachweisbar nothwendigem Zusammenhange stehen, da diese Function mit der Wahl der 

 betreftenden Charakteristik zugleich nnthwendiff bestimmt ist und umarekehrt. 



Zunächst ist klar, dass die Factoren ( — 1)^', ( — 1)''', ( — 1)^-, ( — 1)% die B der Reihe nach 

 an den Querschnitten a^^b^, a.,.h.^ annimmt, dieselben sind, die yf{x) dort erlangt, denn diese 

 Wurzelgrösse ist die einzige nicht wie T verzweigte Function, die in jedem Gliede des alge- 

 braischen Zählers von B als Factor zu einer wie T verzweigten Function vorkommt. Anschau- 

 licher wird dieses Verhältniss, wenn wir durch Herausheben der Wurzelgrössen aus der Deter- 

 minante den Zähler (der Nenner ist für sich schon wie T verzweigt) in die Form 



VC 



\/'A^) v//(-^.) V/(«^.) 



AA /(•'■O' /(■^■2) 

 •^•/H. ^i/O^i)? ■<--J{-<^-^ 



setzen. Die neue Determinante ist dann eine wie T verzweigte Function, erlangt also an allen 

 Querschnitten den Factor -}- 1, und die Factoren, die der Totalausdruck annimmt, können dem- 



1 .v(M 



nach nur dieselben wie die des Factors = oder der Function l//'(,r) sein, die eutwe- 



l.n--J _/(-^-) -^^ ' 



der als identisch mit einer der fünf Functionen \' x^ Vi — x etc., oder als Product von zweien 

 derselben in T' einwerthig und stetig ist luid an den Querschnitten Factoren ± 1 erlangt. Diese 

 Factoren giebt die Tabelle des §. 9 an, und man kann durch sie für jeden Fall das gefundene 

 Eesultat prüfen. So erlangt z.B. der sub 15. stehende einfache (nicht quadratische) 9--Quotient 

 mit der Charakteristik (}J) an allen Querschnitten den Factor — 1, und eben denselben die 

 Quadratwurzel, K (1 — .r)(l — [x"^x), aus der charakteristischen Function des zugehörigen algebrai- 

 schen Ausdruckes; denn nach derFactorentabelle erlangt l^l — x an den Querschnitten der Reihe 

 nach die Factoren — 1, — 1, — 1, -|-1: \' \ — [j.'.r die Factoren -f 1, -f 1, -f 1, — 1: daher das 

 Product dieser Functionen, K (1 — ,r)(l — [j.-.r). an allen Querschnitten den Factor — 1. Eben die- 

 ser innige Zusammenhang zwischen den Charakteristiken der ö-Quotienten und den Quadrat- 

 wurzeln aus den correspondirenden , im §. 26 bestimmten Functionen f{x) Hess mich auch 

 vermuthen, dass den Functionen j\x) für die algebraischen Ausdrücke dieselbe Bedeutung 

 zukomme, wie den Charakteristiken für die einzelnen &-Quotienten, und veranlasste mich, 

 bei der Aufstellung des Formelsystems (i^,) die Functionen F so zu wählen, dass sie in jedem 

 Falle mit der betreffenden gefundeneu Function /(.r) in charakteristischem Zusammenhange 

 stehen. 



Was ferner die beiden Punkte :r, *■ betrifft, wo i? 0^ wird, und die wir mit x^.s^ und x^,s^ 

 bezeichnet haben, so sind sie von der D-Function im Zähler aus bestimmt durch die schon im 

 §. 20 aufgestellte Cougruenz: 



