9-J: Friedrich rrym. 



Diese Congruenz ist allgemein algebraisch lösbar, wenn wir statt — f\\—fi das gleich- 

 wertbige Integralsystem u^l^ -\-u^f'\v}-^'^ ^u^f einführen, indem 2-3,^3 und .r^, s^ zugleich mit Xi,«, 

 und .r.,,52 die Wurzeln .t,a' der Determinante in dem algebraischen Ausdrucke für B bilden. 

 Ordnen wir die Determmante nach den Elementen der ersten Verticalreihe, so finden sich 

 ihre Wurzeln aus der Gleichung: 



-"ö 



V7H 



+ il//(.r)+c..rt//(.r) 



wo «, 6, c bekannte Functionen von 'x^^s^ und x,, So allein sind. Die Werthe von .r, die dieser 

 Gleichung genügen, sind identisch mit den Wurzeln der Gleichung; 



= a-'^-^-(^. + c.r)7-(.r), 



die durch Quadrirung der vorigen entsteht, und deren rechte Seite für jede der fünfzehn 

 Functionen f{x), die alle Theiler zu .s" sind, eine ganze Function des vierten Grades von x ist. 

 Scheiden wir aus dieser Gleichung ihre beiden bekannten Wurzeln .r^.r, und .r = a\, aus, so 

 reducirt sie sieh auf eine quadratische, die uns die beiden noch übrigen Wurzeln x = x^ und 

 a- = .r4 als Functionen der in den «,6, c enthaltenen Werthe x^^s^ und a-a, *2 liefert. Die zu 

 :/-3 und a't gehörigen Werthe 53 und «4 bestimmen sich dann ihrem Vorzeichen nach aus der 

 ersten Gleichung: 



= «6^ + (i + «-)/(,r), 



indem die Werthe x^^s^ und x^^s^ ihr als Wurzeln genügen müssen. 



Die Untersuchung, aufweiche verschiedene Weise die bestimmenden Eigenschaften der 

 allgemeinen Function i? in dem ö-Quotienten und in der algebraischen Cardinalform zum Aus- 

 drucke kommen, ist hiermit erledigt. Die verknüpfende Constante VC ist bis auf das Vorzeichen 

 für jeden der fünfzehn Fälle sub {F^ bestimmt; einwerthig erhält man sie durch Grössen 6 

 ausgedrückt, wenn man in die Doppelgleichuug für B (in diesem Paragraphen) statt x^x-^^x^ drei 

 verschiedene endliche Verzweigungswerthe einführt, für die die Determinante nicht ver- 

 schwindet, und entsprechend für die Integrale in den Argumenten der ö-Functiouen die resp. 

 in der Gleichung (J") §. 17 aufgestellten Werthe. Vermöge der Relationen des §.19 lässt 

 sich dann V^C rational durch Grössen in jedem Falle darstellen. 



Unter Voraussetzung der zuerst dargestellten Formelsysteme (i^J und {F,^ haben wir das 

 Formelsystem {F.^ durch rein algebraische Betrachtungen gewonnen. Die daraus abstrahirte, 

 dem allgemeinsten [^-Quotienten entsprechende algebraische Cardinalform lässt sich aber auch 

 unmittelbar, mit übergehung der Systeme (i^j) und(i^,), herleiten, sobald man den Umstand ins 



Augefasst, dass zu jedem U-Quotienten B eine Function V./(.r} sich finden lässt, die, entweder 

 als identisch mit einer der fünf Functionen V'.r, \ 1 — x etc., oder als Product von zweien dieser 

 lünf, in 7" einwerthig und stetig, an den öuerschnitten dieselben Factoren ± 1 erlangt wie 

 der betrachtete specielle !)-öuotient B. Das Product, i?.V/\.r), dieser beiden Functionen ist 

 dann, da es an allen Querscluiitten den Factor -)- 1 erlangt, eine wie die Fläche T verzweigte 

 algebraische Function, die nach ihren Eigenschaften sich leicht rational durch x und s dar- 



