Neue Theorie der idtraelli'ptischen Functionen. 95 



stellen lässt. Die Schwierigkeiten, die wir bei unserm Gange der Untersuchung zu bewälti- 

 gen hatten, bestanden eben darin, dass wir von der Betrachtung der Quadrate der &-Quotien- 

 ten, als wie T verzweigter Functionen, ausgehend, eine der wichtigsten bestimmenden Eigen- 

 schaften des einfachen ö-Quotienten, an den Querschnitten bestimmte Factoren ± 1 zu erlano-en, die 

 zugleich vollkommen die Unterschiede der einzelnen Functionen und Formen bestimmt und bei 

 den Quadraten nicht mehr hervortritt, bei der Constructiondes algebraischen Ausdruckes für E' 

 nicht inEechniing ziehen konnten. In Folge dessen war es auch unmöglich, ohne Zurückgehen 

 auf die schon bestehenden Formeln [F^) und (i^,) den allgemeinen algebraischen Ausdruck so 

 zu specialisiren, dass die individuellen Formen alle symbolisch in ihm enthalten gewesen; im 

 Gegentheile, eines der einfachsten Abhängigkeitsgesetze, wie es zwischen der Charakteristik 

 fV;] und der Function/(.r) des algebraischen Ausdruckes existirt, musste, unbemerkt geblieben, 

 durch ein viel complicirteres wieder gegeben werden. Geht man dagegen, unter Voraus- 

 setzung des einfachen Zusammenhanges, wie er zwischen den 0-Quotienten R und den fünf- 

 zehn charakteristischen Functionen f(^x) besteht, von dem Producte, R.Vf{x), zweier solcher, 

 durch ein gemeinsames Factorensystem verknüpfter Functionen R und Vf[x) , als von 

 einer wie T verzweigten Function aus, so ist damit der oben erwähnten wichtigsten Eigen- 

 schaft des ö-Quotienten vollkommen Eechnung getragen, und unmittelbar ergiebt sich, eindeu- 

 tig durch seine übrigen Eigenschaften bestimmt, der algebraische Ausdruck für E. Ich will 

 diese Untersuchimg für den vorliegenden Fall der ultraelliptischen Functionen nicht mehr 

 speciell durchführen, sondern sie im Folgenden allgemein auf das Gebiet der hyperelliptischen 

 ausdehnen: denn eben darin besteht die Bedeutung der algebraischen Cardinalform , dass an 

 der Hand der bei ihrer Betrachtung gewonnenen Anschauungen das ganze Gebiet der analo- 

 gen hyperelliptischen Formen sich uns aufschliesst. 



Es bedarf wohl keiner Bemerkung mehi', dass man umgekehrt aus den Formeln [F^ als 

 den allgemeinsten die specielleren (Fj) und {F.,) unmittelbar ableiten kann. Führen wir in die 

 Doppelgleichung für 7? (pag- 92) statt .r, den Verzweigungswerth oo ein, so erhalten wir einen 

 der sub {F.^ stehenden einfachen li-Quotienten, indem dann das System der Argumente in 



,,, TZl (1,1, ,,, TT« a, 



«: + < — T + -^ I «2 + «^." -IT + i 



> 



und der Nenner ö(n■)(^A^-|-^4'' + ^fl'^l«3 + ^4'' + "2'0 ^'^ Verbindung mit der jedesmaligen 9-Func- 

 tion im Zähler (nach (&) §. 21) in den gemeinsamen Nenner &(u)(»iH-Mi"|?<2 + ^4'') der Formeln 

 (i^,), bei denen er natürlich quadratisch vorkommt, übergeht. Entsprechend verwandelt sich 

 für Xo ^ CO die algebraische Cardinalform bis auf einen constanten Factor entweder in 



R, = V7{:^) vj^), 



wenn die der Charakteristik (V;) entsprechende Vfi^x) eine der fünf Functionen V .r, VI — .r, 

 etc. ist, indem dann in der Determinante seaen das von höherer Ordnuno- unendlich werdende 

 Glied ' die Glieder Vf{x.,) und x^fix.-) verschwinden und folglich gleich gesetzt 



V>'(«-0 's,' 



werden können, während lim — einen constanten Werth erhält; oder in 



