06 Friedrich Frym. 



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-vveini die entsprechende Vf("-f) ein Product von zweien der fünf Functionen ist, indem dann in 

 der Determinante die Glieder —r£=r und V/T^'.,) gegen das von höherer Ordnung unendlich 

 werdende Glied •'•..,V',/(.r.,j verschwinden und folglich gleich gesetzt werden können, wäh- 



rend lim '^ — '- — - einen constanten Werth erhält: 7?f und 7?.^ sind aber mit Beriicksichti- 



gung der jedesmal statt Vf[-i') einsetzbaren Functionen dieselben Formen, in denen die fünf- 

 zehn Rosenhain'schen algebraischen Functionen sich bewegen, so dass also die Formeln [F.,) 

 unmittelbar aus dem Systeme (F^) resultiren, wenn mau .r_, ^ cx) setzt. Bei einiger Übung 

 ist die auf diese Weise ausführbare Bestimmung der fünfzehn Constanten C und C sub (F^) 

 einfacher als die augewandte. Führt man endlich in die Gleichuuy für F statt z\ und x., be- 

 liebige, aber von einander verschiedene Verzweigungswerthe ein, wie es sub (F^) geschehen, 

 so erhält man Gleichungen, aus denen das Formelsystem (FJ sich herstellen lässt. 



Wir haben bis jetzt diejenigen algebraischen Functionen untersucht, die , durch den 

 Quotienten zweier einfacher {^-Functionen darstellbar, Quadratwurzeln aus wie T verzweig- 

 ten, d. h. rational durch x und fs ausdrückbaren Functionen sind: man könnte sie passend mit 

 dem Namen „ultraelliptische quadratische Functiouen" bezeichnen. Wir fanden, dass sie alle 

 Functionen umfassen, die in 2" einwerthig und stetig, für zwei beliebige Punkte oo* werden 

 und an den Querschnitten Factoren + 1 erlangen. Von diesen bestimmenden Eigenschaften 

 ausgehend, untersuchten wir, auf welche verschiedene Weise dieselben in den &-Quotienten 

 und in den algebraischen Formen zum Ausdrucke gelangen, und es ergab sieh als Resultat 

 der im vorigen ParagTaphen aufgedeckte merkwürdige Zusammenhang der beidcm verschie- 

 denen Ausdrucksformen. Die Fortsetzung dieser Untersuchungen würde zeigen . dass nicht 

 nur zweite, sondern allgemein dritte, vierte, etc. nte in T' einwerthige und stetige Wurzeln aus 

 wie T verzweigten algebraischen Functionen durch den Quotienten zweier i>-Functionen dar- 

 stellbar sind, endlich dass jede in T' einwerthige und stetige algebraische Function, um so 

 mehr also jede wie T verzweigte Function sich durch ein Product mehrerer solcher i>-Quo- 

 tienten ausdrücken lässt. Ich habe diese weiteren Untersuchungen, die über den merkwürdigen 

 Parallelismus der algebraischen und der ö-Formen das hellste Licht verbreiten, in allgemeinerer 

 Fassung zum Gegenstande einer demnächst erscheinenden Arbeit: ..Zur Theorie der hyper- 

 elliptischen algebraischen Functionen" gemacht, aus der ich hier noch zum Schlüsse einiges 

 auf die algebraischen Cardinalformen der hyperelliptischen quadratischen Functionen Bezüg- 

 liche, als mit dem Resultate der vorliegenden Abhandlung in engster Beziehung stehend, an- 

 führen will, die weitere Ausführung der erwähnten Schrift vorbehaltend. 



Der Gang der Untersuchung ist bis zur Ilerleitung der dem allgemeinen ö-Quotienten 

 äquivalenten algebraischen Form nicht von dem, in der vorliegenden Arbeit für die ultraellipti- 

 schen Functionen eingeschlagenen, verschieden: für j9 = 2 gehen die folgenden Betrachtungen 

 und Ausdrücke in schon aus dieser Abhandlung bekannte über, so dass möglichste Kürze ge- 

 stattet sein wird. 



