Neite Tlieoi-ie der ultraellipUschen Functionen. 9 7 



Wir geben von den immer endliehen by|)erelliptischen Integralen aus. Ein solches, dem 

 allgemeinsten Falle p=^J entsprechendes, immer endliches Integral lässt sich durch eine 

 lineare Transformation immer in die allgemeine Form 



to = / — -f c 



/""(«O-l-«!-' 



) {x — a„) («— «,p+i) 



setzen, in der die 1]i-\-\ Constanten a von einander verschiedene Grössen bezeichnen, deren 

 Werthe, so wie diejenigen der^j Constanten«, weiter keinen besonderen Bedingungen unter- 

 worfen sind. Insofern wir in diesem Ausdrucke den Constanten a und oc, so wie der Variable x 

 jeden reellen oder complexen Werth anzunehmen gestatten, können wir w als die Cardinal- 

 form der hvperelliptischen Integrale ansehen. "Wir setzen nun fest, dass die Grössen a im 

 Laufe der Untersuchung ihre Werthe nicht ändern sollen, so greifen wir damit eine gewisse 

 Gruppe von Integralen heraus, und wenn wir im Folgenden allgemein von hyperelliptischen 

 Integralen reden, so sollen darunter nur einer Gruppe (a^, «o, . . -,«2^+1) angebörige verstanden 

 sein. Da der Zähler von dw p willkürliche Constante enthält, so lässt sich jedes Integral 10 

 aus j:» anderen linearunabbängigen linear zusammensetzen. 

 Bezeichnen wir den Nenner von dw mit .s, setzen also 



]/{■<-■ — «:)(.?■— a.) {x — «3^+,) = 5, 



so hat diese Function s für jeden Punkt der X-Ebene zwei entgeg-engesetzte Werthe, +.s- und 

 ■ — -s, und ihre Verzweigungspunkte sind die 2p -j- 2 Punkte: «i, a,, . . ., ol.,^,^^^ 00. Wir bilden 

 jetzt nach den im §. 2 angewandten Principien die zweiblättrige Fläche T, die die Verzwei- 

 gungsart der Function s und jeder aus s und x rational zusammengesetzten Function repräsen- 

 tirt, indem wir über die X-Ebene zwei im Unendlichen geschlossene Ebenenblätter ausbreiten, 

 dieselben längs p-\- 1 Linien, durch die wir vorher in jedem Blatte «j mit oto, a, mit a^, . . . ., ot, + 

 mit 00 verbunden, zerschneiden und so zusammensetzen, dass sich in diesen Schnitten die beiden 

 Blätter durcheinander durchsetzen, s ist dann in dieser Fläche, sobald man seinen Werth für 

 einen Punkt a derselben als -|-s„ oder als — s„ willkürlich angenommen, eine allenthalben 

 einwerthige und stetige Function des Ortes: einem jeden Werthe von x entsprechen zwei 

 Punkte der Fläche, der eine im obern, der andere im untern Blatte: entspricht dem einen 

 dieser Punkte der Werth 5, so entsjjricht dem andern der entgegengesetzte Werth — s. Diese 

 Fläche T zeigt sich nun als eine (2/:»-|- l)-fach zusammenhangende Fläche, die wir ähnlich 

 wie im §. 4 durch p getrennte Querschnittpaare «1, i^; «o, io;. . . ; «^,, b^\ die durch p — 1 

 Linien c verbunden sind, in eine einfach zusammenhangende Fläche T' zerlegen. Das Integral 

 ?o ist dann, unter Beschränkung des Integrationsweges auf diese Fläche, eine in T' einwer- 

 thige, stetige und immer endliche Function des Ortes oder Punktes x, .?, die so Inder Be- 

 grenzung von T' bestimmt ist, dass ihre demselben Punkte eines Querschnittes auf der posi- 

 tiven und negativen Seite entsprechenden W^erthe sich um eine längs des ganzen Querschnittes 

 constante Grösse, Periodicitätsmodul genannt, unterscheiden. Es lassen sich nun, wenn wir 

 die inneren Seiten der Querschnitte a, b als die positiven, die äusseren als die negativen an- 

 nehmen, p wie 10 gestaltete Integrale: 



/•Ci« ^x,a 15,8 



du^, ii, = / du.,, . . . ., u^= I diip, 



Denkschriften der matliem.-nalurw, Ol. XXIV. Bd. Abhandl. »on Nichtmitgliedern. 



