Neue Tlieorie der ultraelliptischen Functionen. 99 



C;;!:::3K-^i«3-^i----K-;/;) 



r = : 



K^h—J\\u-—fA \%—fp) 



enthalten sind, wo die im Zlililer eine der ö im Nenner älinlieli gebaute Eeihe ist von der 

 Form: 



m:::'iyfM ■■■■ i.v)="|~ ■ • ''"fr^ :i:-(»'-+?)(-+5+^I(-^o(«.+jj 



m.=^ — 00 



und die Grössen s, s' überhaupt rationale Zahlen bezeichnen sollen, r erlangt am Quer- 

 schnitte a., den Factor ( — 1)^', am Querschnitte h,, den Factor ( — 1)^'»: schränken wir also die 

 Bedeutung der symbolischen Grössen s, e' ein, indem wir einer jeden von ihnen nur die Werthe 

 und 1 beliebig zu bezeichnen gestatten (doch nie alle Grössen den Werth zugleich anneh- 

 men lassen, indem sonst Zähler und Nenner von r identisch würden), so sind in r auch nur 

 alle diejenigen algebraischen Functionen enthalten , die in J" einwerthig, für p beliebio-e 

 Punkte 00' werden und an den Querschnitten Factoren ± 1 annehmen, deren Quadrate folg- 

 lich wie T verzweigte algebraische Functionen sind. Führen wir statt des willkürlichen 



Systems /il/,] .... |,/^, J) in Folge dessen auch beliebige Punkte .Tj, — s^\ x.,, — s^; ...;*• , s • 



ein, für die die {Um Nenner 0' werden soll, so geschieht dies durch die Congrueuz: 



-A\-A\ ■■■■ i-/;>^ ifdul-i-k^i^dul+k,] .... \ijd^+k^ 



in die die ursprüngliche (auf voriger Seite) übergeht, wenn man darin statt s.,: — .s\ setzt, 

 und r erhält durch Einführen dieser "Werthe, wenn wir allgemein den Werth des Integrals 

 u^ für den Punkt a\, 5, mit u^^^ bezeichnen, die Form : 



%[Yr • •^>)(„, + v,,(;) + ^. |„^ + 24v)_^^.^| __ I +2<'-f Ä,) 



für die wir die äquivalente algebraische Cardiualform hier bestimmen wollen. 



Zu dem Ende sind nur die bestimmenden Eigenschaften der Function E algebraisch zinn 

 Ausdrucke zu bringen, die sich folgendermassen aussprechen lassen: E ist als Function des 

 Punktes r, s eine in T' einwerthige und stetige Function des Ortes, die für p Punkte: 



a-, s = a-j, — .s'i ; x,s^ .r.,, — s., ;....; .r, s == .r^,, — s^, : 



00' wird und an den Querschnitten bestimmte Factoren + 1 erlangt; sie ist ferner eine sym- 

 metrische Function der j)+ 1 Punkte .r,«; x^,s^ ; ■('■>,S2t. . . ; ^'j.,Sp. Durch diese EigeuscJjaften ist 

 die Function E vollkommen bis auf einen von den p+l Punktwerthen unabhängiti-eu con- 

 stanten Factor bestimmt, und alle übrigen Eigenschaften, wie die, für ^ Punkte x,s 0^ zu wer- 

 den, oder die Quadratwurzel aus einer wie T verzweigten Function zu sein etc., ergeben sich 

 als secundäre nothwendig aus den obigen primären. Da die Grössen e, s' nur die Werthe und 1 

 annehmen dürfen, man aber aus und lauf 2"' Weisen Variationen zu 2p Elementen mit Wie- 

 derholung bilden kann, so giebt es im Ganzen 2"^ Charakteristiken [V;' ' '^!'), und da Ql' ■ 'JI) 

 als Zählercharakteristik ausgeschlossen ist, so sind in E überhaupt 2-'' — 1 verschiedene 



