100 Friedrich Prym. 



Functionen enthalten, die alle für dieselben p Punkte oo' werden und sich nur durch die 

 Factoren au den Querschnitten oder durch die davon abhängigen Punkte, wo sie einzeln 0' 

 werden , unterscheiden. 



Um den algebraischen Ausdruck für B zu bilden, betrachten wir vorher die 'lp-\- 1 ein- 

 fachen Functionen: 



V X — oti, V .c — ri., , V .r — a^.^+1 , 



deren Prodiict die Function s ist, und die hier dieselbe Eolle spielen, wie die fünf Functionen 

 V X, V\ — X.. . ., VI — \i'x in dem speciellen Falle ^ = 2. Es ist nämlich (vergl. §. 9) irgend 

 eine derselben V .r — a., eine in T' einwerthige und stetige Function des Ortes, die für den Ver- 

 zweigungspunkt ,r^oo:oo' wird, für den ihr speciell zukommenden Verzweigungspuukt 

 .i = a, : 0', und an den Querschnitten bestimmte Factoren + 1 erlangt. Ein Product aus n belie- 

 bigen der obigen Functionen hat ähnliche Eigenschaften; ebenfalls in T' einwerthig und 

 stetig, wird es für x = oo : oo", für n endliche Verzweigungspunkte 0\ und erlangt an jedem 

 Querschnitte einen bestimmten Factor, -|- 1 oder — 1. der das Product der n Factoren 

 ±1 ist, die die ii Functionen, jede einen, an dem betreffenden Querschnitte erlangen. 

 Zu jedem Producte von n Fimctionen lässt sich nmi eines, aber auch nur eines finden, 

 das an den Querschnitten dieselben Factoren erlaugt; es ist dasjenige, welches sich 

 aus den übrigen 2^9+1 — n Functionen bildet; denn bezeichnen wir das erstere Product 



mit \'f{x), so ist das zweite gleich — ^^ — i= V/(-^') : "^n^d es erlangen Vf{x) und die- 



selben Factoren. da ihr Product s an allen Querschnitten den Factor -|- 1 erlangt; ferner sieht 

 man sofort, dass ausser dem erwähnten kein anderes Product P, von m Functionen z. B., die- 

 selben Factoren + 1 wie V/(a;) erlangen kann, indem sonst P.Vy(x-) rational durch x und s 

 ausdrückbar sein müsste, was unmöglich, wenn nicht P = V/(x-) oder P ^ ist. Wollen 



wir demnach aus den 2^3-1-1 Functionen als Factoren nur solche Producte erhalten, die 

 sämmtlich verschiedene Factoren ± 1 an den Querschnitten erlangen, so dürfen Avir sie nur 

 zu Producten von 1,2,. . ., ^ Factoren ohne "Wiederholung combiniren: bezeichnen wir ein 

 solches Product allgemein durch Vf(x), so erhalten wir auf diese Weise, da 



(2p + 1), +{-2p^ ]),+ .. .+{2p+iX, = -r^-i, 



2-1' — 1 verschiedene Functionen Vf{x) (unter denen die obigen 2p-\-l einfachen Functionen 

 als Producte aus einem Factor vorkommen), die sämmtlich verschiedene Factorensysteme in 

 Bezug auf die Querschnitte haben. 



Da es nun überhaupt nur 2'^ — 1 verschiedene Factorensysteme von der Art der bis jetzt be- 

 trachteten jriebt, dieselben, die dem Ausdrucke B zukommen, wenn wir für (J; ^r" ''.'] der Pieihe 

 nach die möglichen 2'-'' — 1 bestimmten Charakteristiken einsetzen (indem mit der Charakteristik 

 (oo .' : '. o) zugleich das entsprechende Factorensystem, das nie einer Funciion !/(.'•) zukommen kann, 



ausgesclilossen ist), so folgt daraus, dass zu jeder der 2'-'' — 1 Functionen P eine Function ^f(x) 

 aus der Gruppe der aufgestellten 2-' — 1 sich finden lässt, die an den Querschnitten diesel- 

 ben Factoren erlangt wie die betreffende Function //, und die wir die zu P gehörige 

 „charakteristische Function- nennen wollen. Das Product, B.\'f{x), je zweier solcher, durch 

 ein gemeinsames Factorensystem verknüpfter Functionen B und Vf(x) erlangt dann an jedem 



