Neice Theorie der tdtraelliptisclien Functionen. 101 



Querschnitte den Factor +1, ist folglich eine wie T verzweigte , d. h. rational durch x und 

 s ausdrückbare Function. 



Wir bestimmen jetzt diejenige, rational durch s und x darstellbare algebraische Form, in der 

 alle Functionen i? . V/( et') enthalten sind, wenn \ f{x) in dieser Verbindung jedesmal die zu dem 

 betreffenden E gehörige charakteristische Function bezeichnet. Da R.Vf{x) nur unendlich 

 wird für die j9 Punkte x^. — s^-.. . .; ic^, — sy. für die jedes B oo' wird, und ferner für .-r::=oo 

 unendlich wie V/\.r), so muss eine jede Function R.Vf{x) in dem allgemeinen Ausdrucke 



enthalten sein, wo ^i, A., noch zu bestimmende rationale ganze Functionen von :/• bezeichnen, 

 verschieden nach den verschiedenen Functionen R.Vf{x). Die linke Seite dieser Gleichung 

 verschwindet, wenn wir für x eine Wurzel der Gleichung _/(;!■) ^ einsetzen, und da mit 

 ] /"(rr) zugleich s verschwindet, so muss die Function ^o dieselben Wurzeln wie /(.r) haben, 

 wenn anders die rechte Seite auch versehwinden soll. Die Function /"(.r) muss demnach Theiler 

 von A^ sein, so dass also ^o = J5i.y(a'), wo B^ wieder eine rationale ganze Function von x ist. 

 Führen wir diesen Ausdruck für A., in die obige Gleichung ein, dividiren beiderseits durch Vfix) 

 und setzen statt ^1, und B^ rationale ganze Functionen von noch zu bestimmendem Grade m 

 und n resp. ein, so folgt für B die bis auf die Constanten bestimmte Form : 



{a,-\-a,x-^r . . . +«,„a5"') ^=ir +('i„+Ä..z-+ . . . -\-h„x") |//(.r) 



B^ ^"^'^■^■^ 



{x—x^) (x—x,) (a-— ,'r^_,) 



in der alle 2'^ — 1 Functionen B enthalten sind. 



Die Werthe von m und n bestimmen sieh durch die Bedingung , dass der Grad des 

 Zählers in Bezug auf die Variable x den Grad p des Neuners nicht übersteigen, noch unter 

 ihm bleiben darf, indem für a-=oo der allgemeine D-Quotient B weder co noch wird. De- 

 finiren wir den Grad (/ einer beliebigen Function cp(.r) in Bezug auf die Variable x durch die. 



Gleichung lim = Const, und bezeichnen dies durch G{'^{x)) = q, wo dann z. B. G(s) = — - — 



ist, so finden wir leicht, dass wenn der Grad der zu B gehörigen Function /(.r) 



G{f(jr)) = 2v— 1 oder G(ßx)) = ^v 



ist, wo V eine ganze Zahl, d. h. wenn Vfix) aus 2v — 1 oder aus 2v der einfachen Functionen 

 } X — «j,. . . ., Vx — «2^+1 zusammengesetzt ist, dann den Grössen m und n. die Werthe 



7)1 = V — 1 , n =p — V, 



als höchste mögliche zukommen. Es ist nämlich unter Annahme dieser Werthe: 



1. wenn (?(/(x)) = 2v-l, j G{x--^) = i? ; (?(.xi//ü7) =i^-J; 



2. wenn (?(/(aO)=2v, „ =P — 7,-, « =?? 



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so dass folglich m und n in keinem Falle grösser genommen werden können, ohne dass der 

 Zähler den Grad p.übex'steigt. 



