Neue Theorie der- ultraelliptischen Functionen. 103 



wo ^ eine Function der p Variablen allein ist, indem die Grössen «o? -^d ^v die Variable x 

 nicht enthalten. Diese Function cp zeigt sieh als eine vollkommene Constante, wenn wir die 

 primäre Eigenschaft der Function i?, eine symmetrische Function der ^;+l Punkte 

 x,s\ x'i, 5i;. . .\Xj,,s^ zu sein, berücksichtigen. Da nämlich die Determinante A, sowohl wie 

 die Function V ihr Vorzeichen wechseln, wenn wir zwei beliebige der 2i-\-l Punkte vertau- 

 schen, ihr Quotient folglich wie B eine symmetrische Function dieser Punkte ist, so muss 

 der letzten Gleichung gemäss cp ebenfalls eine symmetrische Function aller p-^-l Punkte sein, 

 und da sie die Variable x nicht enthält, so ist dies nur möglich, wenn sie ebenfalls von den 

 p übrigen Grössen a'i, a'o, . . .,.r^ unabhängig, also eine vollkommene Constante ist, die wir 

 allgemein durch C bezeichnen wollen. Das Resultat unserer Untersuchung gestaltet sich dem- 

 nach folgendermassen : 



„Nennen wir zur Gruppe v gehörig diejenigen von den 2-'' — 1 Functionen 7?, deren 

 zugehörige charakteristische Functionen, \ f[x), sich aus 2v — 1 oder aus 2v der einfachen 

 Functionen \ x — a^, . . . ., V.r — 0..,^,+-^ als Producte zusammensetzen, so sind die algebrai- 

 schen Ausdrücke dieser sämmtlichen (2j/j + l)^,,_i + (2jj-f l)^, Functionen R in der allge- 

 meinen Form 



enthalten, die wir die algebraische Cardinalform der Functionen der Gruppe v nennen wol- 

 len, lind es resultirt daraus für jeden solchen zur Gruppe v gehörigen D-Quotienten B der ihm 

 äquivalente algebraische Ausdruck, indem man in A^ statt V/(x) jedesmal die specielle charak- 

 teristische Function einführt, die zu dem betreffenden 9-Quotienten, mit ihm durch ein ge- 

 meinsames Factorensystem verknüpft, gehört. Die Constante C bestimmt sich alsdann in jedem 

 Falle besonders, entweder durch die Verzweigungswerthe «i, a^, . . . , «..p+i oder durch ö-Func- 

 tionen mit den Argumenten ausdrüekbai-, wenn man zugleich für alle Grössen x, Xj, . . ., x^ 

 verschiedene Verzweigungswerthe einführt, für die die betreffende Determinante A, nicht ver- 

 schwindet." 



Eine weitere Frage ist jetzt, wie viele Gruppen v, oder, was dasselbe, wie viele alge- 

 braische Cardinalformen in dem allgemeinen Falle ^^j:» existireu. Der kleinste Werth, den v 

 annehmen darf, ist 1, indem zur Gruppe ^^=^1 diejenigen Functionen B gehören, die entwe- 

 der eine der Functionen |/.r — «i,...., Va; — «2^+1; oder ein Produet von zweien dieser als 

 charakteristische Functionen haben. Lässt man v aufsteigend die Werthe 1, 2, 3, etc. annehmen, so 

 werden die Grössen 2v — 1 und 2v, die resp. die Anzahl der Factoren, aus denen eine zur Gruppe v 

 gehörige Function Vfix) besteht, angeben, derEeihe nach die zulässigen Werthe 1,2; 3, 4; 5, 6 ; 

 etc. annehmen, und da die grösste Anzahl von Factoren Vx — «j, . . . ., V x — ot2^,+i, aus denen 

 eine Function Vfix) als Produet zusammengesetzt sein kann, p) ist, so wird sich der entspre- 

 chende höchste Werth von v, wennp ungerade, aus der Gleichung 2v — l=p, wenn p ge- 



rade, aus der Gleichung 2v^^j ergeben. Ist also j3 ungerade, so giebt es — — algebraische Car- 

 dinalformen, die mau aus der obio-en Gleichunir für B erhält, wenn man der Eeihe nach in der 

 Determinante A, statt v: 1, 2, . . ., — -— setzt, ist dagegen » gerade, so giebt es deren nur -, und 

 man erhält sie, wenn man in A^ der Eeihe nach statt v: 1, 2, • ■ •■, ^ einführt. Für j?=:l und 

 j>=:2, d. h. für die elliptischen und ultraelliptischen quadratischen Functionen, giebt es dem- 



