101 Friedrich Prym. 



nach nur eine algebraische Cardinalform, indem für v nur der Werth 1, als niedrigster und 

 höchster zugleich, zulässig ist. Für^9:=2, v:=l geht B in die aus dieser Abhandlung bekannte 

 Cardinalform (vergl. §. 29) über: für j>=l, v=l ergiebt sich für E eine Form, deren Betrach- 

 tung direct die Additionstheoreme der elliptischen Functionen sin am it, cos am u, A am u 

 liefert. 



Die [}-Quotienten B haben zu Argumenten Summen von jep-fl Integralen: führen wir 

 also statt ;r einen Verzweigungspunkt, am einfachsten a; = oo ein, so erhalten wir 2"^ — 1 

 neue i>-Quoticnten mit gemeinschaftlicher Nennerfunction, die zu Argumenten das System 



haben. Da man nun nach Vorigem durch ein solches System jedes beliebige System rj!?',! .... |?;^ 

 darstellen, oder, was dasselbe, jedes beliebige System v^\t\\ .... \v^, in diese Form setzen kann, 

 unter einwerthiger Bestimmtheit der p Punkte .Tj, äj; x,, .s\,; . . . ; or^jS^/, so sind diese Formen in 

 Verbindung mit den ihnen äquivalenten algebraischen von der grössten Bedeutung, wenn es 

 darauf ankomnit, auf rein algebraischem Wege Relationen zwischen ö-Functionen mit beliebigen 

 Argumenten zu erhalten. Für a:' = csD gehen die algebraischen Cardinalformen in niedrigere 



über, die zum Zähler eine Determinante von nur jr Elementen, zum Nenner die Function A^j 



?'+l V I 2 



haben, und es giebt, wenn 2> ungerade, — -— , wenn^:» gerade, — -_ — solcher niedrigeren Formen. 



P+1 7J+2 

 Jedesmal in den beiden ersten dieser resp. oder Formen bewegen sich die Weier- 



strass'schen Functionen «/(«i, ic.,,. . ., ?^.p)„ und al {ui^ «o, . . ., itp),^ für p=p'- sie gehen aus der 

 algebraischen Cardinalform E hervor, wenn man v = l, .r = oo setzt. Dann muss V'y"(.r) ent- 

 weder die Form l/.r — a,^ oder die Form V (.<■ — ß|j.) (-i' — «,,) haben, wo a^^, «,, zwei beliebige, 

 der 2p +1 Verzweigungspunkte a, , a^,..., tXo^,_,_i bedeuten, und es geht im ersten Falle i? 

 über in 



B, = C. V'".r— «„ V.r,—a„_ .... V.r—a,, , 

 im zweiten über in 



vt =p 



E, = C. 2 



, .|/ (,B, — Äa)(.»,— Ä,) ]/ (iC^— !Z|^)(.IY,— K.,) 



m=l 



f'{x^) {x^,—ci^ (*,„—«,) 



cp(x) = (x— arj(.r— x,>) . . . (a;— r^,); i{x„) = {x„—x^){x,„—x.,) . . . {x,,—x„,_,){x„,—x„^y) . . . (x„—x^): 



welche beiden Formen bis auf die Bezeichnuno- der Constanten mit den Weierstrass'schen 

 übereinstimmen. Die Ausführung dieser Untersuchungen und die Ableitung einer Menge an- 

 derer Relationen belialte ich, hier durch den geboteneu Raum beschränkt, meiner erwähnten 

 • Arbeit vor. 



Düren, bei Cöln am Rhein, im September 1S63. 



