UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 37 
da % coppie di punti reciproci distinti (ove 2%k=r) ed r—2% 
punti uniti è 7» generale individuata una forma del sistema li- 
neare di dimensione r. -- Inoltre è chiaro che ogni coppia di 
punti reciproci, ed in particolare ogni punto unito, che sia comune 
a due o più antipolarità (1), (2), ..., od alle loro iperconiche © 
iperquadriche fondamentali, sarà pur comune a tutte le forme 
del sistema lineare che esse determinano. 
Esaminando i coetticienti delle loro equazioni si scorge che 
le antipolarità e le iperconiche di un piano formano un sistema 
lineare di dimensione 8, mentre le antipolarità spaziali e le iper- 
quadriche formano un sistema lineare oc! Ne segue che le an- 
tipolarità, le iperconiche e le iperquadriche, aventi alcuni punti 
uniti dati od alcune date coppie di punti reciproci formano si- 
stemi lineari le cui dimensioni si conosceranno in generale imme- 
diatamente. In particolare per 8 punti del piano passa in gene- 
rale un’iperconica ben determinata, per 7 punti un fascio, per 6 
una rete, per 5 un sistema triplo, e così via: e vedremo in se- 
guito che le iperconiche di quel fascio hanno in generale cc? punti 
comuni, quelle della rete co!, e quelle del sistema triplo un sesto 
punto oltre ai 5 per cui esso è condotto. Similmente per 15 
punti dello spazio passa in generale una sola iperquadrica, e per 
15—r punti un sistema lineare co” avente per base, se r=5, 
una co°7” di punti comuni. 
40. Se nell'equazione (3) del n. 38 si fan variare ad arbi 
trio i parametri ), [2,3 «.., essa rappresenta un sistema lineare 00°” 
di antireciprocità nel quale è contenuto — e corrisponde ai valori 
reali dei parametri - il sistema lineare oo” di antipolarità che ivi 
si considerava. Quel sistema di antireciprocità presenta la parti- 
colarità che le antireciprocità in esso contenute sono a due a due 
inverse fra loro e corrispondenti a valori coniugati di è, {...., 
(come subito si scorge formando l'equazione inversa della (8)). 
Si potrebbe dire che in un siffatto sistema lineare di antireci- 
procità esiste un'antinvoluzione in cui si corrispondono due anti- 
reciprocità quando sono fra loro inverse, e per cui è catena fon- 
damentale di specie 7 il sistema delle antipolarità. Queste espressioni 
corrisponderebbero al fatto che scaturisce dall’equazione (3) e che 
in seguito adopreremo ripetutamente: che le rette od i piani 
polari di un punto rispetto alle antipolarità del sistema li- 
neare costituiscono una catena (generale o degenere) nella va- 
