UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 39 
viceversa lo studio di una tale antireciprocità si può collegare 
strettamente con quello di un fascio di antipolarità. Sia in fatti 
Xi Ci Ym=0 
l'equazione di un’antireciprocità non involutoria: perchè un fascio 
che la contenga passi pure per un fascio di antipolarità esso dovrà 
(n. 40) contenere anche l’antireciprocità inversa di quella, cioè 
DAm i Yan=0 3 
ed effettivamente il fascio di antireciprocità determinato da queste 
due, 
XX lim 07) Yn Fi ml Xi = 0 9 
contiene un fascio di antipolarità, corrispondenti a valori coniu- 
gati di ) e .. poichè per valori siffatti quest’'equazione diventa tale 
che due coefficienti qualunque corrispondenti agli stessi indici ma 
invertiti sono sempre coniugati. Ogni punto il quale sia unito per 
l’antireciprocità data, e quindi anche per l’inversa, sarà pure unito 
per tutto quel fascio di antireciprocità, e starà perciò sulla base 
del fascio d’iperconiche o d’iperquadriche: viceversa ogni punto x 
di quella base soddisferà all’equazione del fascio di antireciprocità 
in cui si ponga y=% e però sarà unito per ognuna di quelle an- 
tireciprocità. Dunque concludiamo che: 7 punti uniti di un'an- 
tireciprocità non involutoria, piana o spaziale, costituiscono 
(ove esistano) la varietà base di un fascio d’ iperconiche 0 
d’iperquadriche, e viceversa una tal varietà si può sempre con- 
siderare come il luogo dei punti uniti di ogni antireciprocità 
non involutoria di un fascio determinato. 
L’antireciprocità non involutoria da cui siamo partiti può es- 
sere degenere. Allora (v. n. 10) se si è nel piano essa riferisce 
antiprojettivamente fra loro due certi fasci di raggi: se si è nello 
spazio essa da luogo a due stelle antireciproche ovvero a due 
fasci antiprojettivi di piani secondo che è degenere di 1% o di 2° 
specie. La sua inversa è data dalla stessa antiprojettività di fasci 
od antireciprocità di stelle, scambiando però le due forme. In 
ogni caso sono punti uniti dell’antireciprocità i punti comuni agli 
elementi omologhi dei due fasci o delle due stelle. Dunque ap- 
plicando a questi casi le osservazioni precedenti abbiamo che: Nel 
piano il luogo dei punti d'incontro dei raggi omologhi di due 
