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fasci antiprojettivi di rette è la base di un fascio d’iperco- 
niche. Nello spazio il luogo dei punti d’ incontro degli ele- 
menti omologhi di due stelle antireciproche, oppure di due fasci 
antiprojettivi di piani, è la base di un fascio d’iperquadriche. 
— Im quali casi si possa inversamente considerare la base di un 
fascio d’iperconiche o d’iperquadriche come generata da due fasci 
antiprojettivi di rette o di piani, o da due stelle antireciproche, 
risulterà nello studio speciale che ora passiamo a fare dei fasci 
d’iperconiche o d’iperquadriche (v. n' 45 e seg). 
42. Dei fasci. — Cominciamo coll’esame della base di un 
fascio d’iperconiche. È chiaro che se in questo fascio vi sono 
delle antipolarità prive d’iperconiche fondamentali, cioè prive di 
punti uniti, il fascio sarà privo di base: e così pure se vi è 
un'antipolarità avente un solo punto unito e quindi degenere, la 
base ;del: fascio o manca affatto o si riduce a quell’unico punto. 
In generale dall’equazione del fascio di antipolarità risulta 
evidente che esso determina su una retta qualunque un fascio di 
antinvoluzioni, o per eccezione un’antinvoluzione unica. Quindi le 
iperconiche del fascio tagliano in generale la retta secondo le ca- 
tene di un fascio; donde segue [v. la nota al n.18 (*) ed il 
n. 24| che la varietà Q base del fascio d’iperconiche (**) incontra 
in generale la retta in due punti, od in nessuno: a seconda dei due 
casi non vi è, oppure vi è sulla retta una determinata coppia di 
punti reciproci rispetto a tutte le forme del fascio. Se poi si avesse 
il caso eccezionale in cui sulla retta fosse determinata un'unica 
antinvoluzione di punti reciproci da tutte le antipolarità ed anti- 
reciprocità del fascio, l’iperconica di questo che passerebbe per 
un punto della retta non unito per l’antinvoluzione dovrebbe con- 
tenere tutta la retta e quindi degenerare in una catena sem- 
plice di rette: sicchè solo sulle rette che compongono le iperco- 
niche degeneri del fascio accade quel fatt) eccezionale e può 
l’intersezione con ( esser costituita da una catena semplice (es- 
(*) Alcune proprietà ivi trovate pei fasci di catene di una forma semplice 
sono le analoghe di proprietà che presto vedremo dei fasci d’iperconiche e 
d’iperquadriche. 
(**) Nel seguito chiameremo sempre Q l’insieme dei punti base di un 
fascio d’iperconiche (e I l’ente analogo per un fascio d’iperquadriche). 
