UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 41 
sendo allora tale intersezione quella delle rette stesse con una 
iperconica del fascio, diversa da quella degenere considerata). 
Come limite del caso generale in cui una retta non incontra 
l'ente Q. oppure lo taglia in due punti, si ha il caso in cui la 
retta è tangente a ( in un punto, cioè quei due punti del caso 
generale vengono a coincidere. Allora nel fascio di catene retti- 
linee determinate sulla retta dal fascio d’'iperconiche ve ne sarà 
una degenere che si ridurrà a quel solo punto: vale a dire tra 
quelle iperconiche ve ne sarà una tangente alla retta nel punto 
considerato: e viceversa. Dunque le tangenti a Q nei suoi vari 
punti sono le tangenti nei punti stessi alle iperconiche del fascio. 
Ne segue (n. 40) che le tangenti im un punto ordinario di @ 
formano in generale una catena semplice (il che concorda con 
una proposizione generale del n. 15): ma può quella catena ri- 
dursi ad una retta sola, tangente comune a tutte le iperconiche : 
oppure può un punto di @ esser tale che #u//e le rette passanti 
per esso vi siano tangenti, e ciò accade se il punto stesso è sin- 
golare per un’iperconica degenere del fascio: esso si dirà allora 
singolare o doppio anche per Q. 
Se l'ente Q esiste, cioè se vi è almeno un punto A il quale 
sia comune alle iperconiche di un fascio, tali punti, cioè i punti 
di Q, saranno in generale co?: poichè su ciascuna delle oc° rette 
passanti per A (escluse le tangenti) vi sarà in generale un altro 
punto di Q. Ciò se A è un punto ordinario. Se poi esso è sin- 
golare per un’antipolarità del fascio, e se questa è degenere di 
1° specie, avendo per fondamentale una catena semplice di rette, 
l’ente Q si comporrà in generale ancora di oc? punti: mentre se 
essa è degenere di 2* specie ed ha quindi una retta per fonda- 
mentale, @ si ridurrà in generale ad una catena. rettilinea, ed 
eccezionalmente al solo punto A, oppure a tutta quella retta. 
43. Per la base T di un fascio d’iperquadriche si possono 
‘fare considerazioni analoghe alle precedenti relative alla base Q 
di un fascio d’iperconiche. Del resto le une sì collegano alle altre 
osservando che un piano qualunque sega il fascio di antipolarità 
‘in generale secondo un altro fascio di antipolarità. Per eccezione 
può un piano dare per sezione una sola antipolarità piana: ciò 
‘accade quando il piano stesso sia contenuto in un’ iperquadrica 
del fascio, la quale deve quindi degenerare in una catena sem- 
plice di piani. Mentre in questo caso eccezionale un piano di 
