UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 45 
in pari tempo i punti singolari delle antireciprocità degeneri del 
fascio (3) ed i punti che rispetto alle antipolarità (1) e (2), e 
quindi rispetto a tutto il fascio (5), hanno una stessa retta od 
uno stesso piano come polare. Una qualunque di queste proprietà 
si esprime per un punto + mediante le equazioni 
(4) 2° PSI )Z lim Li + Z bm XK, => 0) 3 
dalle quali eliminando le 4 si trae 
(5) ORE DI Um + | bee | = 
Ai valori di ):p. che son radici di quest’ultima equazione corri- 
spondono per la (3) le antireciprocità degeneri del fascio e per 
le (4) i relativi punti singolari. Poichè il fascio contiene con 
ogni antireciprocità anche l’inversa e due antireciprocità inverse 
fra loro corrispondono a valori coniugati di ):u, segue che le 
radici imaginarie dell’equazione 5) saranno a due a due coniugate: 
cosa evidente del resto poichè il determinante (5) in causa delle 
ipotesi fatte sulle a e le d è funzione reale di ) e ». Se poi 
una radice imaginaria della (5) annulla anche i primi suddeter- 
minanti, lo stesso fatto accadrà per la radice coniugata (ed en- 
trambe saranno radici doppie) e l’antireciprocità corrispondente 
(come pure la sua inversa) sarà degenere di 2% specie. Im ogni 
caso i punti singolari di due antireciprocità degeneri fra loro in- 
verse, cioè i punti dati dalle (4) per radici coniugate dell’equa- 
zione (5), costituiscono i due centri od i due assi dei fasci an- 
tiprojettivi o delle stelle antireciproche che vengono a definire 
quelle antireciprocità degeneri; dalle intersezioni degli elementi 
omologhi di quei fasci o di quelle stelle viene allora generato 
l’ente base del fascio d’iperconiche o d’iperquadriche (v. n. 41). 
45. Applichiamo queste considerazioni anzitutto al caso più 
generale di un fascio d’iperconiche, cioè a quello in cui la colli 
neazione che abbiamo nominata è generale, sicchè l'equazione (5) 
ha 3 radici distinte, e nel fascio vi sono 3 distinte antirecipro- 
cità degeneri. Due casi possono presentarsi secondo che quelle 
radici sono tutte reali, ovvero una sola è reale e le altre due 
immaginarie coniugate: corrispondentemente a ciò abbiamo due 
‘specie generali di fasci d’iperconiche, o di enti Q. o (n. 41) di 
antireciprocità piane non involutorie. 
