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UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 45 
sarà evidentemente la retta BC. Quanto alla polare di B si os- 
servi che mentre a questo punto nell'una delle due antirecipro- 
cità degeneri e fra loro inverse corrisponde una retta indetermi- 
nata, nell’altra gli corrisponde quella retta del fascio B che è 
omologa alla CB nell’antiprojettività fra i fasci B e CU: tale retta 
sarà dunque la polare di B e dovrà quindi passare per A. Si- 
milmente la polare di C sarà la CA e corrisponderà alla BC 
del fascio B nell’ antiprojettività dei fasci B e C. Il triangolo 
ABC è dunque autopolare di 2* specie per tutte le antipolarità 
del fascio (*). Queste corrispondenze sono tutte dotate d'iperco- 
niche fondamentali aventi comuni le tangenti BA e CA nei punti B 
e C (#*). Una sola di esse degenera in una catena semplice di 
del piano ne determinano in generale 3 oppure 4 tali che da ognuno di questi 
essi son projettati mediante sette rette d’una catena semplice ; nel caso che v? 
sia solo un punto siffatto esisteranno inoltre altri due punli distinti dai quali 
è sette punti dati vengon projettati mediante due gruppi antiprojettivi di sette 
rette. Un analogo corollario si potrà dedurre dai corrispondenti risultati che 
tosto otterremo pei fasci d'iperquadriche. 
0) Dall’esistenza in ambo i casi di un triangolo autopolare comune a tutte 
le antipolarità del fascio risulta sotto un nuovo aspetto il fatto (o. 40) che le 
polari di un punto rispetto a quelle antipolarità formano una catena semplice 
nel fascio di rette che le contiene. Invero quelle rette dovranno (ni 30 e 34) 
far parte della catena piana che ha il triangolo detto per triangolo unito della 
stessa specie che quella secondo cui è autopolare per le antipolarità, e che 
inoltre passa pel punto dato. Da ciò segue appunto (efr. n. 20) che quelle rette 
formano una catena. Aggiungiamo che per la 42 specie di fasci di antipolarità 
queste catene di rette passano tutte pei vertici del triangolo autopolare, mentre 
per la 22 specie esse contengono un vertice e separano armonicamente gli 
altri due, 
(**) Si presenta così per le iperconiche un fatto opposto a quello che 
accade per le coniche. Mentre per due coniche l’avere punti di contatto è una 
particolarità di posizione, per due iperconiche può accadere nel caso più ge- 
nerale di avere comuni le tangenti in due punti d’incontro, senza che ciò 
costituisca una particolarità, anzi essendo questo caso altrettanto generale 
quanto quello contrario. Però si avverta. subito che per due iperconiche un 
punto comune avente la stessa tangente non è sempre punto di contatto nello 
stesso senso che si avrebbe per due coniche ; esso non è in generale punto 
doppio per l'intersezione delle due iperconiche, vale a dire tale che conti due 
volte fra i punti d’incontro di quest’intersezione e di una retta qualunque 
passante per esso. Un tal punto si ha solo (n. 42) quando esso è singolare 
per un’antlipolarità degenere del fascio. — Osservazioni analoghe si potrebbero 
fare al n° seg., ove vedremo che nel caso più generale due iperquadriche 
possono avere comuni i piani tangenti in due o quattro particolari punti 
d’incontro. 
