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UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 47 
mune a tutte le iperquadriche. Queste saranno tutte rigate e con- 
terranno il quadrilatero semplice AUBD. Fra esse non vi sarà 
alcun cono (*). 
(*) Sui fasci d’iperquadriche in uno spazio qualunque. — Sia: 
) ZAlmL1Ym sg Dim E1Ym =0 
l'equazione di un fascio d’antipolarità di Sy , OVe @Gmr=4tm » Umt=Uim; ®© 
s’indichino con <,,, » fm, ì rapporti dei complementi algebrici di queste quan- 
tità, risp. nei determinanti (supposti non nulli) formati con esse, ai determi- 
nanti stessi. Il determinante caratteristico 
|} Gm + Ebtm| 
di quel fascio, ossia della collineazione prodotto delle antipolarità con cui il 
fascio stesso s'è determinato, avrà le radici imaginarie a due a due coniugate 
e corrispondenti a divisori elementari in egual numero e di gradi uguali. 
Ad ogni radice corrisponde uno spazio fondamentale di punti che si compone 
di punti uniti della collineazione ed è singolare per un’antireciprocità del 
fascio e luogo di punti ognun dei quali ha uno stesso Sj_, per polare rispetto 
a tutto il fascio. Due spazi fondamentali di punti corrispondenti a radici con- 
iugate sono sostegni di due forme antireciproche le quali generano colle 
intersezioni degli spazi omologhi l’ente base del fascio d’iperquadriche. Fra 
essi passa pure un altro legame geometrico notevole, che si collega a quello, 
ma che possiamo anche stabilire in modo indipendente. Sia x un punto dello 
spazio fondamentale di punti corrispondente alla radice } :2., sicchè 
) > —_ = 
Ie coordinate dello spazio polars di x rispetto a tutte le forme del fascio sì 
potranno rappresentare con £,, , Ove 
Sm ? 
a ieri tanta ’ 
e quindi 
Er = E Ano —=—REbat 1 
Ne segue che questo S,_; sarà nello spazio fondamentale di S,_; definito 
dalle equazioni 
! * IS a 
N Zark im + E 3 Fmkim=0 
se sì ha 
o ya _ fe 3 tt __ 
VI E mk Im ERE Pmkbm a=0 > 
relazione che, per le note proprietà dei determinanti, si riduce (dopo esser 
stata divisa pel fattore 77) a 
vi-pna=0 P 
Da essa si trae (v. i ni 12 e 13 del lavoro già citato Sulla teoria e sulla 
classificazione delle omografie) che quello spazio fondamentale di Sy_; è quello 
