48 CORRADO SEGRE 
47. I casi particolari più notevoli nei fasci di antipolarità 
e quindi nella posizione mutua di due iperconiche od iperqua- 
associato (nel senso che ivi ed altrove ho fissato) allo spazio fondamentale di 
punti che corrisponde alla radice ):w. Dunque: di due spazi fondamentali di 
punti corrispondenti a radici coniugate l’uno qualunque ho per polare rispetto 
al fascio di antipolarità quello spazio fondamentale di S,_, che è associato al- 
l’altro. Possiamo chiamare associati due siffatti spazi fondamentali di punti. 
Da quel risultato si deduce (v. loc. cit.) che ogni spazio fondamentale di 
punti ha per polare uno spazio che contiene tutti gli spazi fondamentali di 
punti tranne l’associato di quello. Uno spazio fondamentale di punti che non 
sia autoassociato starà dunque su tutte le iperquadriche del fascio (e lungo 
esso vi sarà uno spazio tangente fisso), E così pure starà sulla base del fascio 
lo spazio che congiunge due o più spazi fondamentali di punti fra i quali 
non ve ne siano due associati (nè, in particolare, uno autoassociato). Se poi 
uno spazio fondamentale di punti è autoassociato, la sua intersezione con lo 
spazio fondamentale di S,_, che gli è associato (e polare) starà nelle iper- 
quadriche: una tal intersezione esiste solo quando i divisori elementari cor- 
rispondenti al detto spazio non sono tutti lineari. 
Quando si conosce la specie di una forma del fascio, le osservazioni pre- 
cedenti danno delle condizionì pel determinante caratteristico, Così se suppo- 
niamo anzitutto che nel fascio vi sia una forma definita, cioè un’antipolarità 
priva di punti uniti, il fascio sarà privo di base, e però le radici del deter- 
minante caratteristico saranno tutte reali e corrispondenti a divisori elementari 
di 1° grado. Di questa proprietà godrà in particolare il determinante 
Aut P 99 . 
I 
do, Agg |P » 
, 
. . . 
OVe Amr = Ilm* Essa costituisce una notevole estensione di un noto teorema 
sull’equazione da cui dipendono le perturbazioni secolari (teorema che si rife- 
risce al caso che le a,,, siano reali), e fu data prima dal sig. HERMITE nel 
1855 (Comptes Rendus, t: 44, p. 181), e poi indipendentemente e in modo più 
completo dal CLeBsc® nel 1859 (Crelle J., t. 57, p. 327; e t. 62, p. 232). 
Possiamo ottenere subito una proposizione più generale supponendo anzi- 
tutto di avere un fascio pel quale il determinante caratteristico abbia le radici 
tutte distinte. Dicendo r il numero delle coppie di radici imaginarie coniugate 
e congiungendo 7 punti uniti corrispondenti a radici prese risp. in quelle 
coppie, avremo degli spazi S,_, che giaceranno su tutte le iperquadriche 
del fascio, Se dunque nel fascio vi è un’iperquadrica contenente degli spazi 
S,.1 : ma non degli S,, il che significa (v. una nota al n. 36) che ridotta a 
forma canonica essa ha r coefficienti di un segno e d-+41—r(=r) del segno 
opposto, il determinante caratteristico non potrà avere più di r coppie di 
radici imaginarie coniugate. Quando poi si abbia un fascio pel quale le radiei 
non siano tutte distinte basterà considerarne uno infinitamente vicino per 
