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UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 40 
driche, si hanno quando qualcuna delle radici del determinante 
caratteristico ne annulla anche i primi suddeterminanti, ecc. 
Nel piano questo fatto può accadere solo per una radice, la 
quale sarà perciò reale. Ad essa corrisponderà nel fascio un’iper- 
conica degenere di 2° specie, cioè ridotta ad una retta. L’in- 
tersezione di questa con un’altra iperconica del fascio darà la 
base di questo: sicchè questa base o non esisterà o sarà una ca- 
tena semplice di punti di quella retta (catena che può ridursi 
ad un sol punto) ed allora questi punti saranno da considerarsi 
come doppi per quella base e saranno punti di contatto per tutte 
le iperconiche del fascio, avendo per tangenti le rette che com- 
pongono l’altra iperconica degenere che il fascio in generale am- 
mette. — 
Per un fascio d’iperquadriche se una radice reale del deter- 
minante caratteristico annulla i primi suddeterminanti, essa cor- 
risponde ad un’iperquadrica degenere di 2° specie, i cui punti 
costituiranno una catena semplice di piani oppure soltanto una 
retta: se la base del fascio non è generabile mediante due stelle 
antireciproche, il fascio ammetterà ancora due iperquadriche de- 
generi di 1* specie, le quali possono coincidere in una nuova 
iperquadrica degenere di 2° specie. Tale sarebbe il fascio che 
ha per base l'intersezione di due catene semplici di piani aventi 
gli assi sghembi fra loro: quest’intersezione si compone di oc 
rette che costituiscono un ente duale a se stesso. — Se poi una 
radice annulla anche i suddeterminanti di 2° ordine, vi sarà nel 
fascio un’iperquadrica degenere di 3° specie, cioè ridotta ad un 
piano: la base, ove esista, starà in questo piano e sarà in ge- 
nerale un’'iperconica lungo cui tutte le iperquadriche del fascio 
avranno lo stesso cono tangente: ecc., ecc. 
Altro caso notevole di fasci d’iperquadriche sì ha quando una 
radice ‘mmaginaria annulla i primi suddeterminanti del deter- 
minante caratteristico, sicchè lo stesso fatto accade per la radice 
dedurne che questa proposizione rimane ancor vera. Possiamo dunque dive in 
generale che quando nel fascio considerato di forme ve n’è una che ridotta 
a forma canonica viene ad avere k per differenza fra i numeri di coefficienti 
risp. dei due segni, il determinante caratteristico ha almeno k radici reali 
(distinte 0 coincidenti). — Nel caso particolare in cui le forme del fascio siano 
a coefficienti reali, questo teorema si riduce ad uno contenuto nell’/naugural- 
dissertation del sig. KLEIN (cfr. Math. Ann. XXIII, nota a pag. 562). 
Atti della R. Accad. - Parte Fisica. ecc. — Vol. XXVI 4 
