UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 5] 
48. Infine altri casi particolari di fasci d’iperconiche 0 d’i- 
perquadriche, degni di menzione, si hanno quando il determi- 
nante caratteristico è identicamente nullo (il che finora si esclu- 
deva), cioè tutte le forme del fascio sono degeneri. Osservando 
che la retta od il piano polare di un punto singolare di una 
forma rispetto ad un’altra sarà polare del punto rispetto a tutte 
le forme, e conterrà quindi i punti singolari di tutte, si giunge 
facilmente alla conclusione che oltre ai fasci in cui un punto 
singolare è comune a tutte le forme si hanno solo i fasci se- 
guenti. 
Il fascio d’iperconiche degeneri, o catene semplici di rette, de- 
terminato da due tali forme prese in modo da avere una retta 
comune. La base del fascio si comporrà (v. n. 20), oltre che 
di questa retta, di una catena piana. Questa catena piana in- 
contrerà quella retta secondo una catena semplice, che sarà il 
luogo dei punti singolari delle iperconiche del fascio. 
Il fascio d’iperquadriche degeneri determinato da due coni 
iperquadrici che abbiano comune una generatrice ed il piano tan- 
gente lungo essa. Il luogo dei vertici dei coni del fascio sarà 
ancora una catena posta su quella retta. Però vi sarà nel fascio 
un'iperquadrica contenente il piano nominato e quindi degenere 
duaze ‘specie. (*). (**) 
(*) Lo studio generale dei fasci d’iperquadriche degeneri di ogni spazio 
sì può condurre in modo simile a quello dei fasci di quadriche degeneri (v. 
ad es. SEGRE, t. 19 di questi Atti; e BERTINI, Rendie. Ace. Lincei, ser. 48, t. II). 
(**) Su alcune forme invariantive del sistema di due iperconiche od 
iperquadriche. — Rappresentiamo con la notazione simbolica le due forme 
ripetutamente considerate, sicchè: 
Allora servendoci degl’invarianti che pel campo binario furono introdotti 
nella nota al n. 18, ed applicando il principio di trasporto di CLEBSCH (con- 
venientemente esteso) otteniamo subito questi primi risultati. Nel piano le 
rette su cui quelle due antipolarità (iperconiche) determinano due antinvolu- 
zioni (catene semplici) permutabili od armoniche, inviluppano l’iperconica 
(abi) (abi) =0. 
Nello spazio le rette aventi la stessa relazione con due antipolarità spaziali 
(iperquadriche ) soddisfano l’equazione 
(abin) (aben)=0, 
