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UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE ò 7 
due antipolarità del fascio, cioè saranno punti del filo II, ovvero 
saranno singolari per due antireciprocità degeneri del fascio in- 
verse l’una dell'altra, cioè saranno punti omologhi della corri- 
spondenza II. Facendo muovere quel fascio di forme in modo che 
descriva tutta la rete passando sempre per l’antipolarità che ha 
in A un punto singolare, la retta considerata, polare di A, de- 
scriverà intorno ad A' una catena semplice (poichè si può con- 
siderare come polare di A rispetto ad un’antipolarità mobile di 
un fascio contenuto nella rete ma non passante per la suddetta 
antipolarità degenere). Ciò posto, se il punto A percorre tutto 
il filo II, il suo reciproco A' descriverà un nuovo filo I sì che 
ogni punto di questo sarà centro di una catena semplice com- 
posta di rette che projettano il filo Il (doppiamente) e di rette 
che contengono coppie di punti omologhi della corrispondenza Il. 
Considerando tre di queste catene di rette e la rete d’iperco- 
niche che esse (considerate come iperconiche degeneri) determi- 
nano, vediamo che il filo Il è l'intersezione di quelle tre catene 
di rette, ossia il filo base di una rete d’iperconiche, cioè un filo 
cubico: come appunto avevamo asserito. Potremo inoltre aggiun- 
gere che </ filo Il' trasformato di Il mediante la corrispondenza 
O è quello che ha colla Il la stessa relazione che il filo II ha 
colla O (*). 
53. La cubica ) su cui sta un filo del 3° ordine ha ne- 
cessariamente l'invariante assoluto reale, vale a dire è projet- 
tiva ad una cubica reale. Per dimostrare questa proposizione e 
(*) Poichè le iperconiche passanti per 6 punti del piano formano in ge- 
nerale una rete (n.39), possiamo dedurre immediatamente le proposizioni 
seguenti da cui riescon definiti i fili cubici generali mediante la sola nozione 
delle catene semplici. /l luogo di un punto dal quale 6 punti dati del piano 
son projettati mediante sei rette di una catena semplice è in generale un filo 
cubico ; ed i punti comuni alle co catene semplici di rette che così si otten- 
gono costituiscono a lor volta un filo cubico, che riesce individuato dal pas- 
saggio pei 6 punti dati, e che sta con l’altro in una stessa curva del 3° or- 
dine. Questa è il luogo descritto da due punti dai quali quei 6 — e quindi 
tutti i punti del filo cubico che li contiene - son projettati mediante due gruppi 
antiprojettivi di rette. Ecce, ece. — Queste proposizioni si connettono poi stret- 
tamente (v. n.54) ad altre dell’ordinaria geometria projettiva relative alle 
coppie di punti di due piani da cui due date sestuple di punti son projettate 
mediante gruppi projettivi di rette (v. ad es. Sturm, Das Problem der Pro- 
jectivitàt u.s.w., Math. Ann., I, pag. 541), ecc. 
