58 CORRADO SEGRE 
collegare la natura di y alla natura dei fili cubici che essa con- 
tiene, consideriamo un punto qualunque P del filo II e le 4 
tangenti a, », c, d che da esso si possono condurre a toccare 
altrove, in A, B, C, D, la cubica y. Quelle tangenti saranno 
distinte se questa curva non ha punti doppi. Nel fascio di rette 
di centro P_ abbiamo un’antinvoluzione (in cui degenera un’an- 
tipolarità della rete) che projetta la corrispondenza £ fra i punti 
di y: sì che due rette omologhe di quell’antinvoluzione segano 
ancora 7 secondo due coppie di punti le quali si corrispondono 
in Q. Quindi i punti A, B, C, D dovranno corrispondersi fra 
loro rispetto ad O: ciò che può avvenire in tre modi diversi, 
cioè: 1° senza che alcuno di essi sia unito per 2, sicchè ad 
esempio A, B e C, D saranno due coppie di punti omologhi ri- 
spetto ad Q: 2° essendo A, B, C, D quattro punti uniti di Q; 
8° essendo due di essi, A, B ad es., punti uniti, e gli altri due 
C, D punti omologhi rispetto ad ©. Nei primi due casi l’an- 
tinvoluzione considerata del fascio P mostra che il gruppo di 
rette a bed sarà antiprojettivo (al gruppo corrispondente, bade 
nel 1° caso, abcd nel 2°, cioè) a se stesso, cioè che il birap- 
porto (abed) sarà reale. Nel 3° caso essa mostra che il gruppo 
abcd sarà antiprojettivo ad abde, cioè che il birapporto (a bed) 
sarà (coniugato al suo inverso, cioè) un numero complesso avente 
per modulo l’unità. Dunque /a cubica ) fa parte o di quella 
specie di cubiche per cui il birapporto è reale, oppure di quella 
specie per cui il birapporto ha per modulo l’unità. Com'è noto 
queste due specie di cubiche sono appunto quelle per cui l’in- 
variante assoluto (*) è reale ; esso è positivo per quelle della 
1? specie, negativo per quelle della 2°. Le cubiche armoniche 
appartengono ad ambe le specie; per esse l’invariante s’annulla. 
Ora se la rete d’iperconiche non ha un filo base, cioè se 
la corrispondenza Q su 7 non ha punti uniti, dovrà necessaria- 
mente presentarsi il caso in cui A,B e C,D son due coppie di 
punti reciproci, e però la cubica ) avrà un birapporto reale. 
— Se invece esistono punti uniti di Q, si prenda per A uno di 
(*) Qui e nel seguito per invariante assoluto della cubica, cioè della 
quaterna di tangenti condotte a questa da un suo punto, intendiamo quello 
che, indicando con « uno dei birapporti di questa quaterna, è dato da 
1+a}f(2—-<af? (1-2) 
4»; 93 (0d î, j), oppure S, T, della quaterna, o della cubica. 
e sì esprime in modo noto mediante gl’invarianti 
