UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 61 
dotto della corrispondenza 0 fra i punti di y e ' che son 
reciproci rispetto alla rete di reciprocità e della corrispondenza 
anticollineare € fra y e ; e che similmente la corrispondenza 
Ml su y è il prodotto della P fra ye ye della €. — Di 
passaggio, dal fatto che fra y e y esiste una corrispondenza 
univoca algebrica 0 (oppure P) ed in pari tempo un’ anticolli- 
neazione €, deduciamo che gl’ invarianti assoluti di queste cu- 
biche sono in pari tempo uguali e coniugati, e quindi reali. 
(cfr. n. 53). 
Basandoci sulle considerazioni ora fatte possiamo proporci di 
determinare tutti i fili cubici giacenti su una data cubica 
piana *] d’invariante assoluto reale, e più precisamente di de- 
terminare tutte le corrispondenze che esistono su ) di punti 
reciproci rispetto a reti di antipolarità (corrispondenze ©). A 
tal fine si consideri la cubica 7' che corrisponde a in un’an- 
ticollineazione € fissata ad arbitrio (potendo anche y' coincidere 
con 7): le corrispondenze cercate fra i punti di si potranno 
considerare come prodotti di corrispondenze algebriche univoche 0 
fra y e y e della corrispondenza anticollineare €. Ed abbiamo 
dalle cose dette una 1* condizione da imporre ad una tal cor- 
rispondenza 0 fra 7 e y: quella di esser la corrispondenza dei 
punti reciproci rispetto ad una rete di reciprocità. Se essa si 
verifica, esiste pure, come dicemmo, una corrispondenza P fra 
y e y' tale che da due punti omologhi di P la 0 è projettata 
mediante due fasci projettivi. Viceversa se la corrispondenza 0 
determina fra y e y una corrispondenza P siffatta, tre coppie 
di fasci projettivi di rette che projettino i punti di Y e y' omo- 
loghi rispetto ad 0 costituiscono tre reciprocità degeneri dalle 
quali (se scelte in modo da non stare in un fascio) è determi- 
nata una rete di reciprocità rispetto a cui due punti di ) e 7' 
omologhi in 0 sono sempre reciproci. -— Quando questa 1* con- 
dizione è soddisfatta, la corrispondenza O fra i punti di y che 
è prodotto della 0 per la € viene ad essere quella dei punti 
reciproci rispetto ad una rete di antireciprocità. Perchè questa 
contenga una rete di antipolarità, cioè £ sia appunto della spe- 
cie voluta, occorrerà ancora che © risulti involutoria. E questa 
condizione sarà anche sufficiente, poichè allora la rete di antire- 
ciprocità con ogni antireciprocità degenere (coppia di fasci anti- 
projettivi che projettano 2) conterrà pure quella inversa, sicchè 
in essa vi saranno infiniti fasci di antipolarità. 
