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Applicheremo questi concetti successivamente alle cubiche 
ellittiche ed a quelle razionali (cioè ai due casi in cui l’inva- 
riante assoluto è finito od infinito). 
55. Sulla cubica ellittica 7 ad invariante assoluto reale sia 
l'integrale di 1° specie determinato in modo da annullarsi in un 
flesso. Se la cubica ha il birapporto reale (cioè l’invariante as- 
soluto positivo), è noto che per parallelogrammo dei periodi di 
sì può prendere un rettangolo, cioè che i periodi fondamentali 
si possono indicare con 4, e 7%,, essendo ®, ed @, reali. Se 
invece il birapporto della cubica ha per modulo l’unità (cioè se 
l’invariante assoluto è negativo), si può prendere per parallelo- 
grammo dei periodi un rombo, e come periodi fondamentali due 
numeri complessi coniugati, che nel seguito indicheremo con 
1 ) 
3 (0, +i0,) e —(0,—%,); cosicchè anche in questo 2° caso @, 
ed :@, saranno due periodi, ma non più fondamentali: nei loro 
multipli si avranno ancora risp. tutti i periodi reali e tutti quelli 
imaginari puri. — In ambo i casi, dalle espressioni note delle 
funzioni ellittiche di x mediante gl’invarianti, oppure anche dalla 
considerazione della cubica reale, si vede subito che la corri- 
spondenza univoca fra i punti della curva che corrispondono a 
valori coniugati di « (*), cioè la corrispondenza rappresentata 
parametricamente da 
w=Uu , (mod' periodi ) 
è un’anticollineazione (nel caso della cubica reale il coniugio). 
Potremo assumerla come anticollineazione ausiliare © del n. pre- 
ced. Allora, poichè la curva y' coinciderà con y, dovremo cer- 
care le corrispondenze algebriche univoche fra i punti di y che 
soddisfano alle due condizioni ivi trovate per le corrispondenze 0. 
La 1* di quelle condizioni è soddisfatta da ogni corrispon- 
(*) Questa corrispondenza è univoca appunto per l’ipotesi fatta che l’inva- 
riante assoluto di ) sia reale e che quindi il coniugato di un periodo sia 
ancora un periodo. Anche altre corrispondenze che ora otterremo su 7 sono 
univoche solo in tali ipotesi. — A proposito di corrispondenze iperalgebriche 
simmetriche sulle curve ellittiche (superficie simmetriche p=4) si confrontino 
gli ultimi paragrafi dell’opuscolo del sig. KLEIN: Ueber Riemann's Theorie 
der algebraischen Functionen und ihrer Integrale (Leipzig, 1882). 
