ALCUNE DEFORMAZIONI DELLE SUPERFICIE RIGATE 21 
l’angolo che la generatrice v= cost forma con tale curva; men- 
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CITI 9 . . . 
tre le quantità M° e N hanno i valori seguenti: 
e di vii dm i dn\ 
=(x) dv (E 
dl di dn 
N=a,>+f, 
“do dv tdi dv 
dove (7, 22, »), (4, f, 7)) indicano, rispettivamente, i coseni di 
direzione di una generatrice qualunque e della tangente alla di- 
rettrice nel punto corrispondente, rispetto a una terna di assi 
cartesiani ortogonali fissati ad arbitrio. 
Volendo introdurre nell’ espressione di tale elemento lineare 
quantità che siano più intimamente legate colla superficie, che 
non dipendano, cioè, anche dalla posizione di questa nello spazio, 
ma solo dalla sua forma, osserveremo che allora la direttrice sarà 
completamente determinata appena siano note le espressioni dei 
suoi due raggi di curvatura p e T in funzione dell'arco v, e che 
per ogni punto di tale direttrice sarà individuata la posizione della 
generatrice appena siano conosciuti gli angoli 9 e % che, rispet- 
tivamente, la direzione positiva di questa forma colla direzione 
positiva della direttrice, e che il piano tangente alla superficie 
nel punto considerato fa col piano osculatore della curva medesima. 
Sono, dunque, quattro le funzioni (dell’arco v) che possono 
servire a determinare completamente, a meno di movimenti nello 
spazio, una superficie rigata qualsiasi. 
Ora, se indichiamo con (%, 8,7») (4,04 73) i coseni di di- 
rezione della normale principale e della binormale alla direttrice, 
rispetto alla medesima terna di assi coordinati, avremo le re- 
lazioni : 
la, +mB,+ny;=co0s 9 
la, +m,+ny,==Sen 8 cos 9 
la, + mf, +Y,=sSen 0 sen gp. 
Derivando ambo i membri della prima rapporto a v, col tener 
conto della seconda e delle formule di renet, si ottiene: 
N=—- (+22) sen? . 
dv P 
