DAL 
UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 65 
filo si compone di due rami distinti, corrispondenti alle due 
equazioni (11’), oppure (12’), poichè uno stesso punto non può 
corrispondere a due valori di x le cui parti reali differiscano di 
w È 5% : TAlicgaiog = VO: 
co s 0 le cui parti imaginarie differiscano di "E | 
oi 
Sulla cubica il cui birapporto ha per modulo l'unità si 
hanno in generale due soli sistemi oo di corrispondenze 2, poichè 
le serie 2%, O, coincidono risp. con Q,, 2,, ottenendosi le loro 
equazioni dalle equazioni di queste coll’ aggiungere ai secondi 
1 i i i 
membri il periodo —- (©, +73) (e mutando le costanti reali C, , 
C,). Entrambi questi sistemi hanno fili cubici di punti uniti 
rappresentati ancora dalle (11), (12), ecc. Però in questo caso 
o U È 3 
un punto per cui v,= =; (mod. 4,) si può, aggiungendo quel 
dd =. 
i i ii CR 
periodo al suo parametro, ridurre ad avere %, = 22 a sicchè 
dl 
stati considerati, almeno analiticamente, da lungo tempo. Così è infatti: ciò 
che vi ha di essenzialmente nuovo nelle cose suesposte è la definizione geo- 
metrica di quei fili come intersezioni di iperconiche e le proprietà diverse che 
vi si collegano, 
Ad esempio il SieBEcK (Crelle J., t. 57, p. 359; e t. 59 p. 173) rappresen- 
tando una funzione ellittica di « sui punti reali di un piano ottenne su questo 
due sistemi ortogonali di quartiche bicircolari omofocali, le quali si possono 
appunto riguardare come immagini dei nostri fili cubici: v. anche ScHwARZ, 
Crelle J., t. 77, p. 38 (0 Ges. Math. Abhandlungen, t. II, p. 260), che di quei 
sistemi di curve rilevò le proprietà caratteristiche, Ma più particolarmente 
va qui citato l’HarnacK che nella seconda parte della Memoria Ueber die 
Verwerthung der elliptischen Funetionen fiir die Geometrie der Curven dritten 
Grades (Math. Ann. IX) rappresenta l’ente ellittico secondo un concetto di 
KLEIN, cioè mediante i punti reali delle tangenti complesse di una curva piana 
reale di 32 classe, e studia certi due sistemi di oo! curve reali ellittiche del 
6° ordine, le quali rappresentano precisamente la serie delle tangenti per cui 
è costante la parte reale o la parte imaginaria dell’integrale ellittico w, e 
corrispondono quindi ai nostri due sistemi di fili cubici. — Sia ricorrendo 
a queste rappresentazioni dell’ente ellittico (dell’integrale ) sulla superficie 
piana di Riemann o su quella di KLEIN, sia più in generale con le rappre- 
sentazioni su superficie chiuse (simmetriche) qualunque per le quali p=1 
(v. l'opuscolo del sig. KLEIN citato precedentemente), le proprietà che sopra 
sì trovano direttamente per le corrispondenze ed i fili cubici di 7, acquistano 
uno speciale carattere intuitivo, intorno al quale però non possiamo qui 
trattenerci. 
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Atti della R. Accad. - Parte Fisica. ecc. — Vol, XXVI 5 
