UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE 67 
ovvero 
(11,) u= u—2iC,, 
e si conchiude che le corrispondenze O e II sono entrambe del 
1° od entrambe del32° sistema. 
Così ancora se nelle equazioni delle &2,, Q,° si tien fisso v 
mentre varia la costante reale C,, si vede che 2u', rimarrà co- 
stante, ecc. ecc., e si conchiude che / punti di y che corrispon- 
dono ad un punto fisso rispetto alle infinite corrispondenze O 
dell'uno dei due sistemi sono i punti di quel filo cubico del- 
l’altro sistema che passa pel punto fisso. Da questa proposi- 
zione risulta più evidente il legame fra la scomposizione di ogni 
filo cubico in due rami e lo scomporsi di ogni sistema di corri- 
spondenze £ in due tratti. 
Tralasciamo di risolvere altre questioni che si presentano spon- 
tanee sulle corrispondenze 2, come le relazioni di prodotti e di 
gruppi che esse hanno fra loro e con le altre corrispondenze uni- 
yoche, algebriche ed iperalgebriche: la determinazione delle serie 
finite di corrispondenze (o di fili cubici) di cui ognuna è la Il 
rispetto alla precedente considerata come £ (il che coincide colla 
determinazione dei poligoni semplici che sono simultaneamente 
iscritti e circoscritti a *):; il numero e la natura delle interse- 
zioni di due fili cubici di diverso sistema (4 in generale, ma 2 
nel caso della curva armonica se i due sistemi da cui son presi 
i fili sono di specie diversa); ecc. ecc. Son tutte cose che dalle 
equazioni trovate delle corrispondenze e dei fili scaturiscono im- 
mediatamente. 
5%. Solo una questione conviene che trattiamo ancora, af- 
fine di rimuovere un’obiezione che altrimenti ci si potrebbe fare. 
I ragionamenti del n. 54 ci affidano completamente che ognuno 
dei fili da noi ottenuti sopra sta su una rete d’iperconiche; 
ma sarà egli sempre l’intersezione completa di questa rete? È 
facile vedere, basandosi sulla 2* parte del n. 49, che ciò non 
sarà nel solo caso che la rete d’iperconiche abbia per base una 
catena piana, nella quale giacerà allora il filo. Questa catena 
piana sarà fondamentale per un’antinvoluzione che muta Y in se 
stessa determinandovi una particolare corrispondenza O. La ricerca 
di tali fili eccezionali (che chiameremo ancora fili cubici, quan- 
tunque ad essi npn si applichi più senz'altro la definizione del 
