UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GROMETRICHE 69 
Se la cubica y è reale, una delle catene piane considerate 
si compone dei punti reali del piano, ed il particolare filo cu- 
bico in cui essa taglia y non è altro che l’ordinaria parte reale 
di y: la quale appunto si compone di due rami o di un solo 
a seconda che la cubica è di 1° o di 2* specie (e contiene sempre 
tre tlessi); solo le cubiche reali armoniche possono aver le parti 
reali composte tanto di un ramo quanto di due. 
98. Occupiamoci finalmente della determinazione delle corri- 
spondenze © e dei relativi fili cubici sopra una cubica piana ra- 
zionale “). Rifacciamoci alle considerazioni del n. 54 ed alle 
conclusioni a cui esse ci avevano condotti riguardo alle condi- 
zioni a cui il problema si può ridurre, Si tratta anzitutto di ve- 
dere quando è che una corrispondenza algebrica univoca fra due 
cubiche piane razionali y, y', cioè una projettività fra i punti 
di queste, si può considerare come corrispondenza di punti reci- 
proci rispetto ad una rete di reciprocità fra i due piani. Tro- 
vammo che perciò occorre e basta che, comunque si scelga su 
un punto À, esista su 7 un punto A, tale che i fasci di rette 
che da A e A, projettano i punti di 9, y' omologhi in quella 
corrispondenza siano projettivi: 0, ciò che fa lo stesso, tale che 
alle coppie di punti di 7 allineate con A corrispondano su y le 
coppie di punti allineate con A,. Ora i due punti di y che ca- 
dono nel punto doppio di questa curva (e che sulla curva van 
riguardati come distinti o come coincidenti secondo che quel punto 
doppio è un nodo od una cuspide) formano sempre una coppia 
allineata con A, qualunque sia questo punto: dunque i loro omo- 
loghi su y" devono formare similmente una coppia di punti alli- 
neati con A,, ovunque si trovi questo punto su *', e però do- 
vranno coincidere in un punto doppio di y/. Dunque la projettività 
data fra i punti di y e 7 deve soddisfare a questa condizione, 
che rispetto ad essa ai due punti di <] che cadono nel punto 
doppio di questa curva corrispondano rispettivamente i. due 
punti che cadono nel punto doppio di gl: condizione doppia se 
quei punti doppi son nodi, semplice se sono cuspidi. — Questa 
condizione è in pari tempo sufficiente; poichè da una semplice 
applicazione del principio di corrispondenza segue che le coppie 
di punti di 7" corrispondenti alle coppie di y allineate con un punto 
qualunque A di questa stanno in generale sulle rette di un invi- 
luppo di 2* classe: ora, se quella condizione è soddisfatta, quest’ in- 
