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viluppo dovrà scindersi nel fascio delle rette passanti pel punto 
doppio di ‘y' ed in un altro fascio di rette A,, donde ecc. (*). 
Applicando ora l’anticollineazione ausiliare C del n. 54 per 
ritornare da y a e valendosi delle cose ivi dette otteniamo 
subito i risultati seguenti. Sulla cubica ‘) dotata di un nodo 
vi sono due sistemi ot di corrispondenze O, e cioè le antin- 
voluzioni fra i punti di ‘) le quali hanno per punti uniti i 
due punti della curva che cadono nel nodo, e le antinvoluzioni 
fra i punti di ‘* per le quali invece questi due punti sono 
omologhi: questi due sistemi (fasci armonici) di antinvoluzioni 
danno colle loro catene fondamentali due sistemi di fili cubici 
razionali, tra cui quelli del 1° sistema contengono il punto doppio 
di *] come punto doppio proprio, e quelli del 2° lo contengono 
come punto isolato; ecc. — Sulla cubica ‘| dotata di cuspide vi 
è un sistema oc di corrispondenze Q, cioè le antinvoluzioni 
fra i punti di ‘) le quali hanno per punto unito la cuspide: ii 
fili cubici relativi ad esse sono la rete oc* delle catene semplic 
di punti di ) che contengono quella cuspide (**). 
E qui, analogamente al n. 57, si presenta la questione di 
determinare quei fili cubici di ‘y i quali non sono l'intersezione 
completa di una rete d’iperconiche, ma l'intersezione di 7 con 
(*) Data una projettività qualunque fra due cubiche piane razionali 7, /, 
essa vien projettata mediante fasci projettivi di rette dai due punti doppi, 
ed anche da altri due punti A, A, di y, ' che si ottengono, A come ei 
intersezione di colla retta che congiunge i due punti di ) corrispondenti 
al punto doppio di 7, ed A, ìn modo analogo. Ne segue che sempre esiste 
una corrispondenza birazionale quadratica fra i due piani (quella determinata 
da quelle dune coppie di fasci projettivi), la quale determina fra 7 e 7" quella 
corrispondenza projettiva (e vi sono altri due fasci projettivi di rette coi centri 
B, B, fuori di ;, 7’, i quali projettano pure quella corrispondenza, siechè alle 
terne di punti di ) allineate con B corrispondono le terne di punti di y' alli- 
neate con B,): in altri termini vi è sempre un fascio di reciprocità fra i due 
piani tale che son reciproci rispetto ad esso i punti omologhi della data 
projettività fra ) e y. — I casi che sopra si considerano sono quelli in cui 
invece che un fascio si ha una rete di reciprocità, e quindi invece di una 
corrispondenza birazionale fra i due piani se ne hanno infinite. 
(**) Si possono verificare analiticamente questi risultati ed ottenerne con 
facilità degli altri valendosi della rappresentazione parametrica delle curve 
piane razionali (data ad es, in CLEBScH-LINDEMANN, Vorlesungen tiber Geometrie 
p. 586 e 592). Così se la cubica con un nodo si rappresenta in guisa che tre 
punti qualunque in linea retta abbiano parametri il cui prodotto sia costante 
ì due sistemi co! di fili cubici sopra considerati si comporranno dei punti 
per cui è costante l’argomento (a meno di un multiplo di x), ovvero il modulo, 
del parametro. E se per la cubica con cuspide si sceglie la rappresentazione 
con parametri 2--iy in modo che la condizione di allineamento di tre punti 
sì abbia annullando la somma dei loro parametri, la 00? suddetta di fili cubici 
sì rappresenta coll’equazione axr-+by-+c—=0 a coefficienti a;b,c reali. 
