UN NUOVO CAMPO DI RICERCHE GEOMETRICHE i] 
catene piane: e sì trova subito che se ha un nodo vi sono tre 
di questi fili nel 1 sistema (passanti risp. pei tre flessi), ed 
uno nel 2° (contenenti i tre flessi), e che se y ha una cuspide 
vi sono oo! tali fili (determinati da catene piane che contengono 
la cuspide ed il flesso di y ed il punto comune alle tangenti 
in essi). Ecc. 
Da ultimo osserviamo che anche una catena semplice qua- 
lunque di punti di una cubica razionale piana (od anche sghemba) 
7 st potrebbe chiamare (per ragioni che appariranno meglio in 
un altro lavoro) un filo cubico; ma non sarebbe in generale su 
una rete d’iperconiche. Si potrebbe veder facilmente che esso sa- 
rebbe invece l'intersezione di 7 con un fascio d’iperconiche (v. la 
prima nota a questo n°) (*). 
(*) Per vedere ciò ed in pari tempo i principali risultati di questo n° può 
servire utilmente la considerazione di 7) come projezione di una cubica sghemba 
C (considerazione utile anche per lo studio delle projettività fra due cubiche 
piane razionali) — Una catena semplice di punti di y sarà la proiezione di 
una catena di C: possiamo supporre senza perdita di generalità (ed al solo 
scopo di abbreviare il discorso) che C sia reale e che quella sua catena sia 
appunto composta dei punti reali di C. Le catene semplici di rette che con- 
tengono la catena considerata di punti di y sì otterranno come sezioni di 
quelle catene semplici di piani cogli assi passanti pel centro P di proiezione, 
le quali contengono i punti reali di C. Una tal catena di piani è quella cha 
ha per asse la retta reale su cui sta il punto (imaginario) P e che sì com- 
pone tutta di piani reali. Se poi una retta imaginaria r» passante per P è 
asse di un’altra catena di piani projettante i punti reali di C, questa catena 
sarà riferita projettivamente a quella dei piani coniugati, e però le rette reali, 
intersezioni di piani omologhi di qneste due catene, saranno una schiera di 
generatrici reali di una quadrica rigata. Ognuna di queste rette conterrà un 
sol punto di C se r è la corda di questa curva che passa per P. Tolto questo 
caso, la » incontrerà semplicemente C, mentre i piani della catena, cioè le 
loro rette reali, incontreranno in due punti mobili il filo reale di C. Ora la 
quadrica reale considerata, dovendo contenere oltre a C la corda di questa 
curva passante per P, e la sua coniugata, sarà ben determinata; a meno che 
queste due rette coincidano, civè che P stia su una corda reale di C, nel 
qual caso quella quadrica potrà muoversi in un fascio (ed il piano che le è 
tangente in P darà su C un punto mobile, quello d'appoggio di », il quale 
descriverà su ( una catena semplice), Da ciò si conelude che la catena sem- 
plice di ) sta in generale su tre sole catene semplici di rette (e quindi nel 
fascio d’ iperconiche determinato da due di esse); e soltanto nei casi che i 
due punti di che cadono nel punto doppio stiano in quella catena semplice, 
ovvero siano armonici rispetto ad essa (casi che corrispondono risp. all’in- 
contrarsi di C e della corda passante per Pin due punti reali ovvero in due 
punti coniugati), avverrà che quelle catene di rette saranno infinite (coì centri 
formanti una catena semplice di punti di 7). 
