TEOREMI DELLA GEOMETRIA SOPRA UNA CURVA ALGEBRICA 105 
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Proposizioni preliminari. 
1. Una serie 9," sopra una curva C (irriduttibile) possegga 
la proprietà che i gruppi aventi un punto arbitrario (*) comune 
abbiano necessariamente altri 0 — 1 punti comuni. Allora è fa- 
cile dimostrare che esiste sopra C una serie y semplicemente in- 
finita (razionale o non) di gruppi di © punti, tale che ogni 
gruppo di g," consta di % gruppi (n=%g) di y. 
2. Escluso il caso precedente, non può avvenire che i gruppi 
di una serie g," aventi s punti arbitrari comuni (1<s<t) 
abbiano necessariamente altri o punti comuni (0 <T<N— S). 
Cioè non può avvenire, considerando una curva piana C, che 
una curva @ del sistema lineare oo” che dà g,”, la quale passi 
per s punti arbitrari, passi necessariamente per altri o punti. 
Suppongasi che ciò sia e che sia s il più piccolo numero, per 
il quale ciò avviene. Le %w per s — 2 punti arbitrari for- 
mano un sistema È lineare co" 75+?, cioè almeno oo’; e inoltre 
quelle di esse che passano per un punto arbitrario, essendo s 
minimo, non passano necessariamente per altri punti. Una rete 
generica di X può adunque servire ad una trasformazione bira- 
zionale della C. La curva C' trasformata gode della proprietà che 
le ©' del sistema S' trasformato di £, le quali passano per due 
suoi punti, passano necessariamente per altri o punti che sono 
con quelli in linea retta, perchè ogni retta costituisce con una 
parte fissa una curva 9, e per l'ipotesi fatta sulla curva pri- 
mitiva C. Ora si dimostrerà che la curva C' non esiste. 
Sia X un punto arbitrario di C' e 9* una curva di S' che 
tocca C' in X: dovrà 9* toccare C' in ogni altro punto co- 
mune. Infatti sia Y un altro punto comune. Le g' passanti sem- 
plicemente per X, Y costituiscono un sistema lineare A (almeno 
oo!) di cui altri 7 punti base sono sulla retta XY. Sia Z uno 
(*) Qui e in seguito, arbitrario significa scelto in modo assolutamente 
generale. 
