TEOREMI DELLA GEOMETRIA SOPRA UNA CURVA ALGEBRICA 107 
s 2. 
Serie speciali complete nascenti da una serie data, di eni 
k gruppi giacciono in una curva aggiunta di ordine 
m_3. 
4. Sia C una curva piana d'ordine m: e facciamo l’ipotesi 
che % gruppi G”, G,... G° di una serie speciale completa 9,” 
esistano sopra una curva aggiunta %9,_;. Supponiamo r,= 2 
ed escludiamo il caso particolare del n° 1. Allora sussistono le 
seguenti proprietà. 
Sia R il resto dei % gruppi dato dalla considerata @,,_;. 
Per il teorema di Riemann-Roch (che s’indicherà in seguito bre- 
vemente con R-R), le ©,,_; per R, G", G",... G® (ad es.) 
segnano la serie g,":: onde per R, per un gruppo qualunque di 
questa serie e per G", G.... G passa una %,_3. Ripetendo 
il ragionamento, si conclude che k gruppi qualunque di g,"1 sono 
dati da una ©_3 per R; cioè costituiscono un gruppo di 
- 
: a K A ? è 
una serie speciale completa g_, che si ottiene variando &m_3 per 
R. Parimenti 4 —1 gruppi qualunque di 9," sono dati da una 
©m-3 per R e per un altro gruppo, cioè formano un gruppo 
di una serie speciale completa fio: contenuta nella 9° : ecc. 
n(k— 1) ok 
Si hanno così % serie speciali complete Gi REZZA RENE ERA A AAT 
cui ciascuna contiene tutte le precedenti. 
5. Sia &,; il numero delle condizioni indipendenti a cui deve 
soddisfare una ©,,_3 che passa già per 7 — 1 gruppi G, G”,..., G©7” 
affine di passare per un 7°°©° sruppo (G‘. Per il teorema R-R 
è gi =n—r, e manifestamente p,<f,, cioè n — p,=r, Ma 
troveremo in seguito una maggiore limitazione (n. 9). 
Qui osserviamo che i gruppi G', G”,...,G“—' costituiscono 
cr - 
un gruppo di RN e quindi il passare @,_y per essi dà 
curva è da Z projettata doppiamente mediante un cono al quale appartiene 
XY, e nel piano tangente lungo questa generatrice al cono giacciono le 
tangenti a C”' in X, Y. Adunque due tangenti qualunque dì C"' sì incontrano 
e quindi (C”’ non essendo piana) passano tutte per un punto, il che non può 
essere (altrimenti lo stesso accadrebbe di una sua projezione piana). 
