TEOREMI DELLA GEOMETRIA SOPRA UNA CURVA ALGEBRICA 109 
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della g,1 e che si assoggettano inoltre a passare per quei ,, 
punti (poichè, se una tal scelta non fosse possibile, il passaggio 
di quelle @,_3 per tutto il primo gruppo darebbe meno di y, 
condizioni indipendenti). 
7. Abbiansi due gruppi G', G" di 9," aventi r —] punti ar- 
bitrari comuni P e dicansi P', P" rispettivamente i residui n—r,+1 
punti di ciascun gruppo. Se G', G" si considerano come posi- 
zioni limiti di due gruppi distinti, si ottengono ©,,_, passanti per 
i punti P', peri punti P" e tangenti nei punti P alla curva fon- 
damentale C. Dico che ogni om_, passante per i punti P', P" 
è necessariamente tangente nei punti P a C. Giacchè, ricordando 
il teorema R-R, la 9_, passa per G' (contenendone n—r,+1 
punti) e dà un resto R tale che tutte le 9,_, per R segnano 
sopra C la serie g," . Ma ad R appartengono i punti P" e quindi 
queste ©,_. passano per tutto il gruppo G", cioè G" fa parte 
di R. Una ©m_, variabile per R dà un gruppo variabile G di g, 
e, quando G cade in G', essa cade nella suddetta Om-3: questa 
tocca adunque nei punti P, come doveva dimostrarsi 
Si noti che in questa dimostrazione, come nelle seguenti, è 
essenzialmente applicata la proprietà del n° 6: onde, come già 
avvertimmo, resta escluso il caso particolare del n° 1. 
8. La precedente proprietà si estende facilmente, si ha cioè che 
sei gruppi di g,'*» hanno r,—1 (0 meno) punti comuni arbitrari, 
CIASCUNA Qm_3 passante per i residui punti di ogni grapoo ha 
con C in ciascuno di quei punti comuni un contatto 1P""°, 
9. Dalla proprietà del n° 7 discendono importanti limitazioni. 
Premettasi che deve essere 
pc... ziale 
perchè, se fosse pu, <r, 1, ricordando il significato di p,, 
UnA Om_y per î—1 gruppi qualunque di g,' dovrebbe conte- 
nere ogni altro gruppo che avesse, con uno di quelli, r, —1 
punti comuni, il che è assurdo. 
Ora sieno G/, G",...,G“=?) gruppi arbitrari di g,"1 e GY! G9 
due altri aventi y — 1 punti comuni arbitrarii; segue dal n° 7 
che la serie residua della 9° è data tanto dalle 0,_, passanti 
