TEOREMI DELLA GEOMETRIA SOPRA UNA CURVA ALGEBRICA 111 
Infine si può notare che dalle (1), (4) si ottiene 
bas =Tra1 fiati de 
10. Una condizione necessaria e sufficiente per le proprietà 
esposte è chiaramente la 
Pi thot..- +px<D -. 
Se 1 —1 gruppi di gn SONO SOPra UNA dm _3, è condizione 
sufficiente affinchè 1 gruppi sieno sopra una @,,_ 3 che si abbia 
Epoca 1) <p. 
Infatti una @m_, che passi già per #—2 gruppi arbitrarii e 
quindi soddisfacente già a 1,1+, +... +2; condizioni, può 
condursi per altri due gruppi aventi r, 1 punti comuni, fa- 
cendola passare per ;_;, punti di uno e per u;_j—(r:—1) 
punti (non comuni) dell'altro, e tale ©,,_., esiste per la rela- 
zione ammessa. E allora si trova facilmente (cfr. n° 7) che + 
gruppi arbitrari sono sopra UNa @m_s- 
Colla ripetuta applicazione della proposizione precedente si 
giunge al teorema di Castelnuovo (1. c. n' 24, 25): cioè se 
sussistono le 
pata +. +20; (rm 1) <p 
per i=2.e poi per î=3, e così via via fino ad i=k, la 
serie speciale g,"" gode della proprietà che k suoi gruppi qua- 
lunque stanno sopra una ossia valgono le proprietà dette 
nel presente paragrafo. 
(49) 
ym—-39 
8 3. 
Limite superiore di p per una data 9,” 
11. Esistano % gruppi di una g, completa sopra una 
O_3(k=1, cioè sia la serie almeno speciale) e non ne esistano 
k4+1 gruppi. Mantenute le denominazioni del $ 2, sussisteranno 
tutte le relazioni ivi dimostrate. Inoltre dovrà essere 
Pitpat + pa-+2Px— (e 1)3P 
