TEOREMI DELLA GEOMETRIA SOPRÀ UNA CURVA ALGEBRICA 113 
0 Penn 
zione già fatta, per % massimo intero minore di ma in 
r—1 
questo caso il limite non è raggiunto. 
Infine il detto limite vale per una serie 9," (speciale o no) 
anche non completa. Perchè, se dicasi 9g," la serie completa in 
cui g, è contenuta, dalla (10) segue, essendo MSI, 
P=(k+ 1) (nr sE o) 
n_-T,. NR-r RAZO AI 
ove k< L_ e si può prendere per %, come dianzi, 
ei 
4 4 - ; x n_-T 
il massimo intero inferiore ad I: 
V- 
Concludiamo adunque il teorema di Castelnuovo: — Se sopra 
una curva di genere p esiste una serie qualunque g," (tale sol- 
tanto che © gruppi della serie che hanno un punto arbitrario 
comune non abbiano necessariamente altri punti comuni) si ha 
PE (k+1) (ns 45 ") : 
20 - 3 , ; ii 
ove k è il massimo intero inferiore ad a 
Y — 
Vedemmo già che il limite. se wn<2r, è raggiunto. Se 
n=2r si può pure affermare lo stesso (per g,' speciali) appli- 
cando una formola di Segre, ecc. (Vedi Castelnuovo, 1. c. n. 27). 
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Altra applicazione alle curve piane 
projezioni di curve speciali di S, (*). 
12. Indichi 9° la serie segnata sopra una curva piana C di 
ordine m e genere p dalle rette del piano. Se g,,, non è com- 
(*) Per i concetti e le denominazioni adoperati in questo paragrafo, ve- 
dasi VERONESE, Behandlung der projectivischen Verhdlinisse der Riume ven 
verschiedenen Dimensionen durch das Princip des Projicirens una Schneidens 
(Math. Ann., t. XIX); SeGRE, Recherches generales sur les courbes et les 
surfaces réglées algebriques. (Math. Ann., t. XXX, e XXXIV); CasTELNUOVO, l. c, 
