118 ENRICO D'OVIDIO 
Il determinante, che ha per elementi i prodotti di due ele- 
menti omologhi di A, e A,_,, è multiplo di A, quando le linee 
di A,e A,_, sono ordinate in modo che gli elementi di almeno 
una linea di A, abbiano per omologhi in A,_, i loro minori 
complementari in A: invece è nullo quando gli elementi di 
ciascuna linea di A, hanno per omologhi in A,_, î minori 
complementari di una linea parallela. 
Infatti, se le linee che si considerano sono le orizzontali, basta 
aggiungere nel nuovo determinante ad una verticale le altre, per ri- 
durre quella verticale ad avere almeno un elemento eguale a A egli 
altri nulli nella 1* ipotesi, tutti gli elementi nulli nella 2° ipotesi. 
In una successiva comunicazione (« Generalisation du theorème 
de Jacobi sur les determinants partiels du système adjoînt », 
ibid., 9 Luglio 1883, t. 97. p. 82) il sig. BARBIER recò un esempio 
della relazione 1) 
aria 
Ab 
la quale evidentemente è contenuta nel primo teorema (ed anzi 
è stata adoperata per dimostrarlo). Essa fu data da CAucHY 
(Journ. de l’ Ecole politechnique, cah. XVII, p. 102). 
Nella stessa comunicazione il BARBIER diede due esempî (il 
2° con qualche inesattezza) di un altro teorema, che nemmeno 
enunciò, e che è il seguente: 
Ordinati gli elementi di A, e A,_, în modo che due ele- 
menti omologhi siano sempre due minori complementari in A, 
un minore qualsiasi di A, è eguale a quel minore di A,_, che 
è complementare del proprio omologo, moltiplicato per A elevato 
\—1 
all’esponente » — vi fa: 
x ove v indica l'ordine del detto 
minore di A,. 
Questo teorema è del FRANKE (l. c.). Esso si dimostra imi- 
tando il procedimento che suol tenersi nel caso particolare p=1, 
che è notissimo e dovuto a Jacobi; e cioè: il minore scelto in 
Dr si rende di ordine (..) introducendovi nuove orizzontali e 
) 
verticali convenienti, indi si moltiplica per ALII vede che il 
prodotto si riduce a A’ moltiplicato per quel minore di A,_, di 
cui parla l'enunciato; onde il teorema. 
