198 GINO LORIA 
interesse il conoscere completamente la composizione di tale gruppo 
o, in altre parole, il sapere quali siano tutte le trasformazioni 
razionali dello spazio che ripetono la loro origine da un’assegnata 
superficie. Per eseguire questa determinazione si possiede uno 
strumento conveniente in quel metodo inventato dal Cremona stesso 
per costruire le trasformazioni razionali determinate da una data 
superficie — metodo di cui supponiamo ora e in seguito nel lettore 
perfetta conoscenza —. disponendo in tutti i modi possibili del 
luogo fisso e della rete ausiliaria; onde applicarlo fa mestieri 
però avere presenti quali siano tutte le reti omaloidiche di curve 
piane d’ordine assegnato e non dimenticare che. quando la su- 
perficie omaloide considerata è suscettibile. di parecchie rappre- 
sentazioni univoche fra loro equivalenti, vi sono su di essa più 
sistemi di curve di egual natura ma corrispondenti a sistemi di 
curve piane fra loro differenti (mutabili però gli uni negli altri 
col mezzo di trasformazioni univoche lascianti immutato l’ordine 
della rappresentazione piana della superficie). 
Ma per eseguire l’anzidetta determinazione possono anche set 
vire ragionamenti diversi, i quali si possono dire più diretti, perchè 
si fondano piuttosto sull'esame delle proprietà specifiche. della 
superficie in questione che sullo studio esclusivo della sua rap- 
presentazione piana. 
Si noti infatti che. detto m l'ordine delle imagini delle se- 
zioni piane di 4 nella rappresentazione d'ordine minimo e M V'or- 
dine di una sezione principale di questa superficie (cioè della 
parte mobile della curva in cui essa viene segata da una super- 
ficie di egual ordine avente comuni con essa le singolarità). l'or- 
dine v di un sistema omaloidico 7nverso ad uno determinato da @ 
non può essere inferiore a 7 nè superiore a M:; ne viene che 
il sistema dzretto avrà per linee fondamentali. oltre alle linee 
singolari di 2, delle linee fondamentali semplici equivalenti (*), 
nell’intersezione di due superficie analoghe a @, a una linea d’or- 
la seconda delle quali è, in causa della (a), conseguenza della prima, Ora la 
(c), in virtù della (5), dà per r, un valore determinato e non negativo, quindi 
è dimostrato quanto erasìi enunciato; in pari tempo si vede che l'essere 0 
non © atta a produrre una trasformazione piana razionale dipende dall’es- 
sere 0 non verificata la condizione (b), cioè dall'esistere o non oo, r22, 
curve aventi comuni con © le singolarità. 
(*) Ci esprimiamo così per includere il caso in cui lungo una linea fon- 
damentale abbia luogo un contatto d’ordine qualsivoglia, 
