LE TRASFORMAZIONI RAZIONALI DELLO SPAZIO ECC. 199 
dine n compreso fra M—wm e 0. Si prenda ora ad arbitrio » 
entro questi limiti e si considerino successivamente tutte quelle 
curve di ordine equivalente a n. proprie o degeneri, giacenti sulla 
data superficie 9, avendo cura di escludere quelle che sono casi 
particolari di altre. onde non porre ad uno stesso livello una 
trasformazione razionale ed i suoi casi particolari. Presa una qua- 
lunque, f, di esse per ulteriore linea fondamentale si studi se e 
in quali modi, sia possibile scegliere sulla data superficie i punti 
fondamentali semplici (punti i quali possono essere di semplice 
passaggio o di contatto d'ordine qualunque) per modo che il si- 
stema risulti in conseguenza omaloidico: allora si avrà un sistema 
il cui inverso è d'ordine Yv=M—». Così si otterranno tutti i 
sistemi omaloidici determinati dalla data superficie @ e i cui inversi 
sono d'ordine M— »: variando poi » fra M--m e (0) si otter- 
ranno tutti i sistemi omaloidici determinati da %. 
Nell’applicare questo procedimento occorre determinare sempre 
la postulazione (*) della curva f e talora anche il numero di 
condizioni che vengono aggiunte a questa postulazione allorquando 
si esige che f sia linea fondamentale di contatto per le superficie 
considerate. Noti questi numeri sì conoscerà anche il grado d’in- 
finità < del sistema costituito da tutte le superficie 2 che passano 
per f o ivi si toccano e sarà facile l’assegnare il numero % delle 
intersezioni mobili di tre superficie qualunque appartenenti a questo 
sistema oc'.. Ne viene che se noi imaginiamo di sottoporre le su- 
perficie di tale sistema a passare per x, punti dati e ad avere 
con z,(r=2, 3, ...) piani dati in altrettanti punti dati dei con- 
tatti d'ordine r— 1: se inoltre rammentiamo che: 
1°. Per una superficie algebrica qualunque l’avere in un 
dato punto con un dato piano un contatto d’ordine r— 1, equi- 
vale a ir(r+1) condizioni lineari semplici (**): 
2°. Sono riunite r° intersezioni di tre superficie in un punto 
(*) Secondo la denominazione proposta dal CayLey nella sua Memoria On 
the Rational Transformation between two Spaces (Proc. of the Lond math. 
Society, 1870, p. 165). 
(**) Ciò risulta dall’osservare che in coordinate omogenee la forma gene- 
rale dell’equazione di una superficie d’ordine # avente col piano di equazione 
9=wT,+ 92%, +73135=0 nel punto £, =x,=2;=0 un contatto d’ordine r è 
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ove in genere fj è una forma ternaria di grado i in x, , 22, X. 
