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nel quale esse hanno con uno stesso piano un contatto d’ordine 
r—1, vedremo che affinchè il sistema risulti in conseguenza oma- 
loidico è necessario che i numeri x, #» £3 ... soddisfino le equa- 
zioni seguenti: 
Lt+3x,+60%3+... +3%k(k+1)a,=2—-3 ..-(1), 
c+4rx+9x%x,+...+%x, —P__1AZIE 
ove % si deve scegliere in modo che sia 
1k(k+1)si-3, WPsp—1(). 
Lo scegliere 1 numeri x in questo modo è i» generale anche 
sufficiente per l’omaloidicità del sistema ottenuto: lo è sempre 
ad eccezione di quei casi (alcuni dei quali ci si presenteranno 
più innanzi) in cui le condizioni imposte alle superficie 4 del si- 
stema co' producano uno spezzamento in una parte fissa e una 
mobile della linea d’intersezione di due qualunque fra esse. 
Le ovvie osservazioni esposte ci serviranno ad ottenere tutte le 
trasformazioni razionali dello spazio determinate da una superficie 
generale di terzo ordine © (**); per ciascuna daremo i caratteri 
(*) Per determinare tutte le soluzioni intere e positive delle equazioni 
(1) e (2), se ne deduca per sottrazione la seguente 
(3) Lo+-323 +... + LE(k—1)c, =p—i+2; 
sì vedrà allora che gli unici valori ammissibili per , sono quelli non ne- 
gativi nè maggiori a (f —i+ 2): — K(kA). Attribuito ad 0 successiva- 
mente ciascuno di questi valori si otterranno altrettante equazioni indeter- 
minate con le incognite 2,, %;,... 1%,_.} in ognuna di queste sì potrà 
È —I 
liberarsi da %, colla stessa considerazione con cui si è fatto scomparire 
I 
2, dalla (3); così continuando si otterranno tutti i sistemi di valori di x, 
CE... ®, che soddisfano la (3): sostituendoli nella (4), o nella (2), si avranno 
altrettante soluzioni intere delle date equazioni; escludendo quelle per cui 
x,<0 si sarà sciolto il problema di risolvere completamente in numeri in- 
teri positivi le equazioni (1) e (2). 
(**) Esse mi hanno già servito a determinare tutte le trasformazioni ra- 
zionali dello spazio prodotte o da una superficie di 4° ordine con conica 
