LE ‘IRASFORMAZIONI RAZIONALI DELLO SPAZIO ECC. 201 
essenziali e dimostreremo che esse esauriscono il eruppo generato 
da una superficie cubica senza singolarità (*): in alcune note 
abbiamo dimostrate certe proposizioni generali. forse nuove, che 
ci occorse invocare. 
Per risolvere il problema che ci siamo proposti notiamo anzi- 
tutto che un sistema omaloidico contenente una superficie 0 ge- 
nerale di terzo ordine avrà un sistema inverso il cui ordine y sarà 
non inferiore a 3 nè superiore a 9: epperò le sue linee fonda- 
mentali dovranno, nell'intersezione di due superficie del sistema, 
equivalere a un luogo il cui ordine non può oltrepassare 6 ma 
può discendere fino a 0. Basterà quindi passare in rassegna le 
curve essenzialmente distinte (**), proprie o degeneri, contenute 
in V e per ciascuna esaminare se possa fungere da linea fonda- 
mentale (di intersezione o contatto) di un sistema omaloidico ; 
conviene per ciò tenere presente la classificazione delle curve alge- 
briche sghembe e i risultati concernenti la geometria su una su- 
perficie cubica: quella si rileva dalla memoria del NOrHER Zur 
Grundlegung der Theorie der algebraischen Raumceurven (***) 
questi si trovano nel lavoro dello Sturm Veber die Curven auf 
der allgemeinen Fliche dritter Ordnung (**4*). 
‘ 
1. Una curva semplice di 6° ordine e genere inferiore a 3 
posta su una superficie cubica, ha almeno una quadrisecante : 
doppia (propria), o da una superficie di 5° ordine con quintica razionale 
doppia (cfr. il n. 3 della presente Nota), o finalmente da una superficie pure 
di 5° ordine dotata di una retta tripla incontrata da due rette doppie (cfr. 
il n. 4). 
(*) Ad eccezione dell'ultima, queste trasformazioni furono rapidamente 
indicate dal CreMoNa, a p. 274-277 del T. IV, 2* Serie, dei Rend. del R. 
Isliluto Lombardo, fra gli esempi di applicazione del metodo citato nel testo. 
(**) Perciò resta inteso che dalla nostra collezione vengono escluse tutte 
quelle trasformazioni che sono casì particolari di altre; esse nascono sup- 
ponendo che, nelle trasformazioni che incontreremo, le curve fondamentali 
assumano forme speciali (p. es. si spezzino in curve d’ordine inferiore , per 
modo che nella curva composta l’ordine e il numero dei punti doppi appa- 
renti siano gli stessi che nella curva primitiva). 
(***) Math. Abh. nicht sur Berl. Akademie gehòr. Gelehrter, 1882, I. 
Preferisco questa Memoria a quella di egual tema dell’HaLpHEN, perchè 
contiene i risultati che ci son necessari sotto forma più conveniente al nostro 
scopo. 
(#***) Math. Annalen, T. XXI, 1883, p. 457-044. 
