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ogni superficie di 53° ordine contenente la curva contiene in con- 
seguenza questa o queste quadrisecanti: epperò la curva stessa 
non può da sola fare l’ufficio di linea fondamentale di un sistema 
omaloidico. Come tale può dunque servire soltanto una sestica gobba 
di genere 3 0 4. Ora siccome quest’ultima è intersezione completa 
di una superficie di 3° ordine con una di 2°, così due qualunque 
fra le c0' superficie cubiche che le contengano s'incontrano ancora 
in una cubica piana; affinchè questa sia razionale devono quelle 
superficie toccare in un punto dato un piano dato: ora questa 
condizione riducendo a oo! le superficie passanti per la detta curva, 
toglie ad esse la possibilità di produrre un sistema omaloidico ; 
quindi nemmeno una curva di 6° ordine e genere 4 può fun- 
gere da linea fondamentale di un sistema omaloidico. 
Ci resta quindi soltanto da esaminare se lo possa quella f 
di genere 5. Ora questa è completata da una cubica gobba che la 
sega in 8 punti nella intersezione di due superficie cubiche (*): 
per ciò tre qualunque superficie di 3° ordine passanti per f si ta- 
gliano in un solo punto ad essa esterno. D'altronde sono co? le 
superficie di 3° ordine che contengono f. Dunque da sola in- 
dividua un sistema omaloidico di 3° ordine il cui inverso è pure 
di 53° ordine. La Jacobiana del sistema diretto è una superficie 
di S° ordine avente f per linea tripla: siccome per ogni punto 
di f passano tre rette appoggiate alla curva in altri due punti 
e siccome ognuna di queste rette sta sulla Jacobiana anzidetta, 
così questa non è altro che il luogo delle trisecanti di f. Per 
conseguenza è una rigata di genere 3 segante in 6 rette ogni 
superficie del sistema omaloidico; emerge da ciò che il sistema 
inverso ha una linea fondamentale di ordine 6 e genere 3, epperò 
è identico al sistema diretto. 
Per ottenere una trasformazione (3, 3) (**) di genere 1 si 
(*) Si rammenti, ora e in seguito, che allorquando l’intersezione di due 
superficie degli ordini » e v, si decompone in due parti degli ordini m’ e 
m'', dei generi p' e p"’, aventi comuni s punti, sì hanno le relazioni: 
2 (p' — p”) e (mm) (#2 Sa s—-4) 
s=m(p+v—4)—2(pp1)=m'(1+:—4)-2(/7—1) 
(##) Col simbolo (v, +) si designa una trasformazione in cui » e v sono 
gli ordini delle superficie dei due sistemi omaloidici; dicendo poi sistema 
(4, v) s'intende indicare un sistema omaloidico d’ordine 4, il cui inverso è 
d’ordine ». 
