LE TRASFORMAZIONI RAZIONALI DELLO SPAZIO ECC. 203 
potrebbe creder lecito di prendere una linea fondamentale degenere : 
ma quelle curve di 6° ordine le quali non rientrano come casi 
particolari in quelle di genere 3. hanno una postulazione com- 
presa fra 20 e 24 epperò non possono servire (*): similmente 
si esclude l’ipotesi che nel sistema vi siano linee fondamentali di 
contatto. Talchè possiamo dire che /e uniche trasformazioni razio- 
nali (3, 3) di genere 1 sono: quella che ha în ogni spazio una 
linea fondamentale unica di ordine 6 e genere 3 cd i casi 
particolari di essa. 
2. Su una superficie generale di terzo ordine © si trovano 
curve gobbe di 5° ordine e dei generi 0, 1, 2; quelle razionali 
ammettono ciascuna almeno una quadrisecante onde non possono 
servire da sole di base a un sistema omaloidico: vediamo se lo 
possono quelle di genere 2. Vi sono oc’ superficie cubiche con- 
tenenti una linea sghemba / di ordine 5 e genere 2; due qua- 
lunque di esse si tagliano ancora in una quartica gobba razionale 
segante f in 8 punti. mentre tre hanno comuni 4 punti mobili: 
ciò basta per potere concludere l'impossibilità di estrarre un si- 
stema omaloidico da quel sistema cc°. 
Invece vi sono oc' superficie di terzo ordine contenenti una 
linea sghemba f di ordine 5 e genere 1: due qualunque di esse 
si tagliano ancora in una quartica gobba razionale la quale ha 
10 punti comuni con f: emerge da ciò che quelle fra le super- 
ficie anzidette che contengono uno stesso punto F_ formano un 
sistema omaloidico. Il quale è, per quanto si è detto, l’unico 
(3, 4) di genere 1 con una sola linea fondamentale. Gli altri 
sistemi analoghi con parecchie linee fondamentali ne sono casi 
particolari, perchè le curve di 5° ordine, non casi speciali di quelle 
di genere 1, hanno una postulazione così alta che impedisce loro 
di fungere da linee fondamentali, e d’altronde, è agevole l’esclu- 
dere la possibilità di linee fondamentali di contatto. 
Per determinare le proprietà della trasformazione (3, 4) di 
cui ora si è avvertita l’esistenza. notiamo che la Jacobiana del 
sistema costituito dalle superficie cubiche contenenti il punto Y 
e-la linea f è una superficie di 8° ordine avente / per punto 
(#) D'altronde la maggior parte di esse sarebbe da escludersi anche 
perchè ogni superficie cubica contenente una di esse contiene in conseguenza 
qualche altra linea. 
