LE TRASFORMAZIONI RAZIONALI DELLO SPAZIO ECC. 205 
Ora da queste segue x,=0, x,=1, quindi: Tutte le superficie 
di 3° ordine passanti per una quartica gobba razionale f e 
tangenti in un punto dato F a un piano dato © formano un 
sistema omaloidico, il quale è l’unico (3, 5) di genere 1 con 
una sola linea fondamentale. 
Per iscoprire le altre proprietà che caratterizzano la trasfor- 
mazione (3, 5) ora stabilita, notiamo che la Jacobiana del sistema 
cubico è una superficie di 8° ordine di cui f è linea tripla e 7° 
è punto quadruplo il cui cono osculatore contiene come ingre- 
diente il piano g (*). Per ciò essa comprende la quadrica luogo 
(*) Come si comporti la Jacobiana di un sistema lineare in un punto 
r-plo per tutte le superficie di un sistema lineare nell'ipotesi che ivi il cono 
osculatore sia fisso. Chiamando 9 una forma ternaria di grado r in x, %s 
X,f,9, h, k, delle forme analoghe di gradì eguali ai relativi indici, il si- 
stema lineare di cui è parola si potrà ritenere individuato dalle quattro 
superficie 
in 
Da n_r n—i 
ne DU, 4 TÀ Ly == 
i=r+1 
in 
pus ner n—i 
g=en + ga =0 
i=r+1 
in 
ner n—i 
h=9%,z, + has 
i=r+1 
in 
n_r n_i 
k=9%x, + ko, « =0 
i-r+I 
Ora se si calcola il Jacobiano delle quattro forme /, 9g, A, k e lo si or- 
dina secondo le potenze discendenti di x, sì ottiene come primo termine 
n qn_4_4 
di Ul S) (Ara. hi pr ezio hl hg hrs, k,41)+ 
FBM4A Ir4t1 ka) AU] Ir+1 ha) ’ 
ove in genere J (a dc) rappresenta il Jacobiano delle tre forme ternarie a 
b e. Per conseguenza: Se tutte le superficie di un sistema lineare hanno co- 
mune un punto r-plo e il relativo cono osculatore, la Jacobiana del sistema 
avrà ivi un punto multiplo secondo 4v nel quale il cono osculatore comprende 
il cono osculatore comune a tutte le superficie del sistema. 
Per es. (cfr. Cremona Rend. del R. Ist. Lomb., T. IV, p. 321) le super- 
ficie (di Steiner) di 4° ordine aventi comuni tre rette doppie d, d, d, con- 
Atti della R. Accad. - Parte Fisica, ecc. — Vol. XXVI. 16 
