208 GINO LORIA 
Da queste proprietà della Jacobiana del sistema diretto, emerge 
tosto che il sistema inverso ha per linee fondamentali una retta 
tripla #. due rette doppie d, e d,, e una curva razionale di 5° ordine 
S semplice per tutte le superficie del sistema; # incontra d, e d. 
mentre d, e d, sono fra loro sghembe. S ha # per bisecante, d, e d, 
per trisecanti: ciò risulta. ad es., dalla rappresentazione univoca 
di una superficie di 5° ordine del sistema inverso che si desume 
dalle cose anzidette. 
La Jacobiana del sistema inverso (*) comprende i piani #4, 
e td, (da contarsi ciascuno due volte); poi la superficie di 4° ordine 
di cui #, t, d sono rette doppie e S è linea semplice; finalmente 
la superficie di 8° ordine che ha # per linea quintupla, d, e d, 
per linee triple e S° per linea doppia. 
5. I due sistemi (3, 5) ora ottenuti sono gli unici di questi 
ordini e genere 1, perchè è facile escludere l’esistenza di sistemi 
analoghi con linee di contatto. 
Per dedurre ora un sistema (3, 6) di genere 1, tentiamo di 
prendere per linea fondamentale una cubica piana C. Sono oc! 
le superficie di 3° ordine contenenti C; due qualunque di esse 
si tagliano ancora in una curva di ordine 6 e genere 4 segante C' 
in 6 punti. Per ciò si otterrà da questo sistema 00! un sistema 
(* Per rendersi ragione di alcune fra queste asserzioni, nonchè di altre 
analoghe che seguiranno, è necessario conoscere (almeno il primo fra) i se- 
guenti teoremi : 
1°. Il numero dei punti con cui la curva C' corrispondente a un punto 
qualunque P di una linea fondamentale f dello spazio S incontra una linea 
fondamentale f’ dello spazio S', è uguale alla molteplicità della linea £ per 
la superficie corrispondente ud linea {. 
20. La molteplicità di un punto fondamentale F° dî S' per la curva C' 
corrispondente a un punto qualunque P di una linea fondamentale f di S, 
è uguale alla molteplicità della linea £ per la superficie corrispondente al 
punto F'. 
Queste proposizioni, le cui analoghe nel piano sono notissime, si pos- 
sono dimostrare con ragionamenti analoghi a quelli in uso per rendere palese 
la verità di queste. Si osservi infatti, riguardo al 1° teorema, che ai p punti 
comuni a C' e f” deve corrispondere un egual numero di punti riuniti in 
P; onde P, il quale è un punto qualunque di /, dev'essere p-plo per la su- 
perficie corrispondente a /'. E, per il 2°, si noti che ai £ punti di C” riuniti 
in f' devono corrispondere sulla superficie relativa a f', altrettante curve 
coincidenti con /. 
