LE TRASFORMAZIONI RAZIONALI DELLO SPAZIO ECC. 209 
omaloidico solo quando si conoscerà una soluzione in numeri interi 
e positivi delle equazioni 7,+3z,+6z3=7, 2:-+42.+9%=11: 
ma una tale soluzione non esiste, dunque una cubica piana non 
può servire come unica linea fondamentale di un sistema oma- 
loidico composto di superficie generali di 3° ordine. 
Se invece sì considerano le oo’ superficie di 3° ordine che con- 
tengono una cubica gobba f e si nota che due qualunque di esse 
s'intersecano ancora in una curva di 6° ordine e genere 3 ta- 
gliante la cubica in 8 punti, si perverrà alle equazioni 
LXt dda + Da =0 r/r 4 xs +9x,=9 . 
le quali ammettono una e una sola soluzione in numeri interi e 
positivi, cioè x, =x2=0, x3=1. In conseguenza: tutte le super 
ficie di terz’ordine passanti per una cubica gobba f e aventi 
con un piano v in un punto F un contatto di second’ ordine, 
formano un sistema omaloidico il cui inverso è di sest'ordine, 
A fine di caratterizzare la trasformazione razionale indivi- 
duata da questo sistema, conviene ricorrere alla rappresentazione 
su un piano Il di una delle superficie del sistema. Se A,... 4; 
sono i punti fondamentali della rappresentazione e si assume come 
linea fondamentale del sistema una cubica gobba f di cui l'ima- 
gine sia (A,°... 4°); e per punto fondamentale Y quello avente 
per imagine G, allora la rete ausiliaria sarà (A,... A45G*),. Sic- 
come la Jacobiana di questa rete consta delle sei rette A4,G 
(é=1,...,6) e della cubica (A,... 4G*); e siccome ad esse cor- 
rispondono sulla superficie sei coniche e una cubica gobba, così 
il sistema omaloidico inverso è costituito da oo° superficie di 6° or- 
dine dotate di una comune retta tripla A e di una comune curva 
doppia di 6° ordine. La Jacobiana di questo sistema si compone 
di una superficie di 8° ordine (presa 4 volte) avente A per linea 
doppia e l' per semplice, e di una di 8° ordine avente A e V' 
per linee triple. 
Le altre proprietà della corrispondenza si possono dimostrare 
nel modo seguente (*). Consideriamo nel primo spazio una su- 
(*) Il ragionamento seguente è applicabile in un gran numero di casì e 
conduce a conseguenze su cui mi riserbo ritornare in altra occasione. Qui 
voglio rilevare come l'analogo nel piano porga delle dimostrazioni , diverse 
dalle consuete, per alcune formole concernenti le corrispondenze razionali 
d'ordine qualunque n fra due piani « e #. A tale scopo chiamiamo r, 73.. 
