LE TRASFORMAZIONI RAZIONALI DELLO SPAZIO ECC. 215 
rappresentata gli elementi singolari formano un sistema omaloi- 
dico; talchè /a detta superficie fa parte di un solo sistema 
omaloidico, il quale è da essa individuato. 
6. Per determinare le trasformazioni (3, 6) che non sono casi 
particolari della precedente, considereremo le superficie cubiche 
passanti per tre rette a due a due sghembe e poi quelle che 
passano per una retta e si toccano lungo un’altra. 
Nel primo caso, chiamiamo r,r,rz le tre rette fondamentali 
e notiamo che esse stanno su cc’ superficie di 3° ordine. Due 
tali superficie si tagliano ancora in una curva di 6° ordine e 
genere 1 avente per quadrisecanti r,r.r,, onde tre hanno 6 inter- 
sezioni mobili. Segue da ciò che per desumere da questo sistema 
co" un sistema omaloidico si deve conoscere una soluzione intera 
positiva delle equazioni 2;+3%. =4, x:+4z.=5: tale solu- 
zione è unica ed è z,=1, x.=1. Epperò tutte le superficie di 
3° ordine contenenti tre rette rjrsr,. passanti per un punto F 
e tangenti a un piano 7 in un punto T costituiscono un si- 
stema omaloidico il cui inverso è di 6° grado. 
La Jacobiana di tale sistema è una superficie di 8° ordine 
avente r,r,r, per rette triple. F per punto doppio e 7 per punto 
quadruplo nel quale il cono osculatore comprende il piano 7. Ne 
viene che le cc! rette secanti r,r.7, appartengono alla Jacobiana: 
il loro luogo è una quadrica, secante in altre 3 rette ogni su- 
perficie del sistema omaloidico. Inoltre, se consideriamo una conica 
bisecante r,, incontrante in un punto tanto r; quanto 7; e tan- 
gente in 7 al piano 7, essa starà completamente sulla Jacobiana, 
la quale pertanto contiene il piano 7'r,; similmente essa contiene 
i piani 7r, e 7r;: ciascuno di questi piani taglia ogni super- 
ficie del sistema in una conica variabile. La parte residua di 
Jacobiana è la superficie di 3° ordine individuata dalle condizioni 
di contenere le rette r,r.r,, di avere Y per punto doppio, di 
toccare in 7 il piano 7: tale superficie si può considerare come 
il luogo delle oc' cubiche gobbe di cui r,r37} sono corde. di 
cui F è un punto, di cui 7 è piano tangente in 7. 
Da ciò risulta: 1° ai piani del primo spazio corrispondono 
superficie di 6° ordine aventi comuni una conica tripla I, tre 
rette doppie A, 4, A, e una cubica gobba semplice A; 2° alle 
rette del primo spazio corrispondono cubiche gobbe seganti [ in 
3 punti, ogni retta A in 1 punto e A in 2 punti. 
