LE TRASFORMAZIONI RAZIONALI DELLO SPAZIO ECC. 217 
(sshemba con ?). Due qualsivogliano fra tali superficie si tagliano 
ancora in una curva razionale di 6° ordine 5-—secante di # e 
4—secante di s; mentre tre arbitrarie hanno 4 intersezioni mo- 
bili. Per conseguenza, a fine di separare da questo sistema oo’ un 
sistema omaloidico è necessario e sufficiente considerare le super- 
ficie di esso che contengono tre punti arbitrari Y,F.Y7,. 
La Jacobiana del sistema ‘omaloidico (3, 6) ora costruito è 
di 8° ordine, ha F,F.7,; per punti doppi, s per linea tripla e # 
quindi : per una superficie d’ordime n il doverne toccare un’altra lungo una 
retta equivale in generale a 3n condizioni lineari semplici. 
Ma questo numero subisce in molti casi delle modificazioni le quali si 
possono determinare nel modo seguente. 
Consideriamo due superficie £ e 2’ d'ordine n aventi comuni delle linee 
semplici o multiple e di più una retta a appoggiata a queste in punti /, 
1,...], che per entrambe le superficie siano multipli secondo i numerì #, 
my ...My; per ciascuna delle superficie il dovere contenere, oltre quelle 
linee, questa retta implica (n +1) — (m, + m,+...+) condizioni. Ora 
ogni piano © per r taglia ciascuna delle superficie in una curva d’ordine 
n —A avente peri punti /, /,.../, per multipli secondo risp. mj,—1, ml, 
.., Mmk-—A curva che incontra a in un numero di punti dato da (n —1)— 
—i(m_-1)+ micA)s.- de (ip A)) = n= 1) + mp) + k. 
Variando = attorno ad @, nascono in tal modo su a due involuzioni proiet- 
tive di punti di ordine eguale a quest’ultimo numero; i punti comuni a due 
loro gruppi corrispondenti sono punti di contatto delle due superficie : tolti 
i contatti che hanno luogo nei punti /, /,.. I, ne rimangono 2 } (1—1)— 
l 
—(M+M+...+ m,) + k. Ne viene che affinchè le due superficie si 
tocchino lungo a è necessario e sufficiente abbiano 2 } (1 —-(m+my + 
+...+m,) +k+4 punti di contatto su a in località diverse da' punti /. 
Questo numero è quello delle condizioni lineari semplici assorbite dal dovere 
le due superficie £ e X' toccarsi lungo la retta 4 supposta già comune ad 
esse. Talchè possiamo concludere : 
Se due superficie d’ordine n hanno comuni delle linee che siano incon- 
trate da una data retta in punti i quali siano per entrambe multipli secondo 
i numeri m, mM, . Mi allora il dovere una di esse toccare l’altra in tutti 
i punti di quella retta equivale a 3} n—(m + my +...+m,) { + k con- 
dizioni lineari semplici. 
Se si suppone &4=0 si ritrova la proposizione dimostrata dianzi anali- 
ticamente. 
