LE TRASFORMAZIONI RAZIONALI DELLO SPAZIO ECC. 219 
Ora il luogo della quartica 2) è la quadrica s# 7,7, e i 
luoghi delle tre serie di coniche {) non sono altro che i piani 
tF,. tF,, tF,; per conseguenza il luogo delle rette ) è una 
superficie di 3° grado avente s per direttrice doppia e # per di- 
rettrice semplice: siccome questa rigata non sega altro che in 
queste sette rette la superficie @, così essa deve toccarla lungo 
la retta 7, epperò essa rigata è definita dalle condizioni di avere s 
per direttrice doppia e di toccare lungo # una e quindi tutte le 
superficie del sistema omaloidico. 
Il sistema inverso risulta di superficie di 6° ordine aventi a 
comune una retta quadrupla 9, tre rette doppie d,d,d, e una 
curva razionale di 5° ordine A.g è incontrato dalle tre rette 
d; (i=1,2,8) e il piano gd, corrisponde al punto F,; di A,9 
è bisecante mentre le d; sono trisecanti. Oltre ai tre. piani 
anzidetti, presi due volte ognuno , della Jacobiana del sistema 
inverso fa parte la rigata di 4° grado della quale q è retta tripla 
e gli altri elementi fondamentali del sistema sono linee semplici ; 
e ancora un luogo di 10° ordine il quale non è se non la su- 
perficie di 5° ordine avente g per retta tripla, d, d,d, per doppie 
e A per linea semplice, da contarsi due volte. 
La rappresentazione univoca per una superficie 4 del sistema 
inverso che scaturisce da quanto precede è tale che le sezioni 
piane di d hanno per imagine oo cubiche passanti per un punto M 
tangenti in un altro punto N a una retta n: la retta qua- 
drupla corrisponde a una conica passante per i punti M e N: 
delle rette doppie sono imagini tre rette per N e della quintica 
semplice una cubica piana tangente a n in N e avente per punto 
doppio M. 
Quanto precede dimostra che le trasformazioni (3, 6) diverse 
dalle precedenti ne sono casi particolari. Cerchiamo se esistano 
delle trasformazioni (3, 7): bisognerà perciò considerare le su- 
perficie di 3° ordine passanti per una conica o per una coppia 
di rette oppure tangenti fra loro lungo una retta. Per ottenere 
in corrispondenza un sistema omaloidico si deve risolvere il primo, 
il secondo o il terzo dei seguenti sistemi : 
Z+9x,4+ 6%,=9 C,+4%,4+9x,=14 
xc+3x,4 60x,=8 x+4x,+9x, = 12 
X,+3x,+60a3=7 LI VE Vada da = PO 
