220 GINO LORIA - LE TRASFORMAZIONI RAZIONALI ECC. 
Ora i primi due sistemi non hanno alcuna soluzione intera 
e positiva, mentre il terzo ha l’unica x, =%3 = 1. In tal caso, se 
si rappresenta una superficie 4 del sistema omaloidico sul piano Il 
per modo che le sue sezioni piane corrispondano alle curve 
(A,... 4;)3 e si suppone che (A, 4;), rappresenta la retta # lungo 
cui ha luogo il contatto, le sezioni di o con le altre superficie 
del sistema corrisponderanno a una rete del tipo seguente 
(A°,... AAA; M N?),; 
ma tutti gli elementi di questa rete si spezzano in una parte 
fissa, che è la conica A,... A, Ne una parte mobile: quella rap- 
presenta la sezione prodotta nella superficie é dal piano che con- 
tiene la retta # e il punto avente per imagine N, questa una 
curva di 5° ordine e genere 1 non incontrante l’anzidetta conica. 
Ciò dimostra che il sistema ottenuto non è omaloidico. 
Similmente, la ricerca delle trasformazioni razionali (3, 8) di 
genere 1, si fa dipendere dalla risoluzione del sistema 
c,+3x,+62,+10%,=12, t,+4%,+9%,+16%,=19; 
e siccome esso non ha alcuna soluzione intera positiva, così si 
conclude la non esistenza di trasformazioni dell’anzidetta specie. 
Da ultimo, poichè il sistema 
x,+3x,+6%3+10z,+15z;=16 
L+t4r,4+9x%3+16z,+ 254,=26 
ha la soluzione (unica) x,;=%;=1, x.=%=%,=0, sembra che 
esista una trasformazione (3, 9) determinata da una superficie 
generale di 3° ordine. Ma notiamo che rappresentando nel modo 
consueto una delle superficie dal sistema, le oo? curve in cui essa 
è tagliata dalle altre superficie del sistema corrispondono a una 
rete del seguente tipo (4%... A MN°),: ora tutte queste curve 
si spezzano nella parte fissa (A,... A; N°); e in una parte mobile; 
la prima delle quali è l’imagine della sezione fatta nella super- 
ficie considerata dal piano che la tocca nel punto rappresentato 
da N, mentre la seconda rappresenta una superficie di 6° ordine 
e genere 1 non segante l’anzidetta sezione. Ciò prova che il si- 
stema ottenuto non è omaloidico e ci abilita a concludere : 
