G. PEANO —- ALCUNE CURVE SINGOLARI 22] 
Non esistono trasformazioni razionali nelle quali in uno 
dei due spazi il sistema omaloidico sia formato da superficie 
generali di 3° ordine e mell’altro spazio consti di superficie 
d'ordine superiore a 6. 
Genova, 20 Dicembre 1890, 
Sopra alcune curve singolari. 
Nota del l’rof, GIUSEPPE PEANO 
Lo Staudt, nel $ 11 della sua Geometria di posizione , 
tratta per via sintetica, di alcune proprietà della tangente e del 
piano osculatore ad una curva qualunque. Queste proprietà si 
dimostrano in calcolo infinitesimale colla formula di Taylor : 
quindi si suppone che le funzioni che si considerano siano svi- 
luppabili con questa formula. Invece lo Staudt non assoggetta 
le curve ch'egli considera ad alcuna condizione, salvo quella della 
continuità. Io mi propongo di dimostrare con esempi che quelle 
condizioni restrittive sono necessarie, e che quindi le proposizioni 
enunciate dallo Staudt non sono rigorosamente vere ; e pubblico 
questi esempi, che credo nuovi, colla speranza di invogliare qual- 
cuno a rendere rigorose le proposizioni e dimostrazioni di Staudt. 
senza abbandonare il campo sintetico. 
Lo Staudt al N. 144 enuncia una proposizione, che in lin- 
suaggio ordinario suona: « Se P e P' sono due punti d'una 
curva piana, avente tangente in ogni suo punto, col tendere di 
P' a P, il punto d'incontro delle tangenti # e #' in P e P' ha 
per limite il punto P >». 
Si possono invece dare delle curve, per cui, col tendere di 
P' a P, il punto # #' non tenda ad alcun limite. Sia l'equa- 
zione y = x* sen — (e per 2=0, sia y= 0); la y è funzione 
% 
continua di x; perciò questa equazione rappresenta una curva 
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